QP-CSM-24-STATISTICS-PAPER-I-031024

तिनी Services (Main) Examination, 2024 PHKM-U-STS सांख्यिकी (प्रश्‍न -पत्र-1) निर्धारित समय : तीन घण्टे अधिकतम अंक : 250 प्रश्न-पत्र सम्बन्धी विशेष अनुदेश (कृपया प्रश्नों के उत्तर देने से पूर्व निम्नलिखित प्रत्येक अनुदेश को ध्यानपूर्वक पढ़िए) प्रत्येक अनुदेश को ध्यानपूर्वक पढ़िए) इसमें आठ प्रश्न हैं जो दो खण्डों में विभाजित हैं तथा हिन्दी और अंग्रेजी दोनों में छपे हुए हैं। परीक्षार्थी को कुल पाँच प्रश्नों के उत्तर देने हैं। प्रश्न संख्या 1 और 5 अनिवार्य हैं तथा बाकी प्रश्नों में से प्रत्येक खण्ड से कम-से-कम एक प्रश्न चुनकर तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए। प्रत्येक प्रश्न/भाग के अंक उसके सामने दिए गए हैं। प्रश्नों के उत्तर उसी प्राधिकृत माध्यम में लिखे जाने चाहिए, जिसका उल्लेख आपके प्रवेश-पत्र में किया गया है, और इस माध्यम का स्पष्ट उल्लेख प्रश्न-सह-उत्तर (क्यू ఈం Uo) पुस्तिका के मुखपृष्ठ पर निर्दिष्ट स्थान पर किया जाना चाहिए प्राधिकृत माध्यम के अतिरिक्त अन्य किसी माध्यम में लिखे गए उत्तर पर कोई अंक नहीं मिलेंगे। यदि आवश्यक हो, तो उपयुक्त आँकड़ों का चयन कीजिए, तथा उनको स्पष्टतया निर्दिष्ट कीजिए। जब तक उल्लिखित न हो, संकेत तथा शब्दावली प्रचलित मानक अर्था में प्रयुक्त हैं। प्रश्नों के उत्तरो की गणना क्रमानुसार की जाएगी। आंशिक रूप से दिए गए प्रश्नों के उत्तर को भी मान्यता दी जाएगी यदि उसे काटा न गया हो। प्रश्न-सह-उत्तर पुस्तिका में खाली छोड़ा हुआ पृष्ठ या उसके अंश को स्पष्ट रूप से काटा जाना चाहिए। STATISTICS (PAPER-I) Time Allowed : Three Hours Maximum Marks : 250 QUESTION PAPER SPECIFIC INSTRUCTIONS (Please read each of the following instructions carefully before attempting questions) each of the following instructions carefully before attempting questions) There are EIGHT questions divided in two Sections and printed both in HINDI and in ENGLISH. Candidate has to attempt FIVE questions in all. Question Nos. 1 and 5 are compulsory and out of the remaining, THREE are to be attempted choosing at least ONE question from each Section. The number of marks carried by a question/part is indicated against it. Answers must be written in the medium authorized in the Admission Certificate which must be stated clearly on the cover of this Question-cum-Answer (QCA) Booklet in the space provided. No marks will be given for answers written in a medium other than the authorized one. Assume suitable data, if considered necessary, and indicate the same clearly. Unless and otherwise indicated, symbols and notations carry their usual standard meanings. Attempts of questions shall be counted in sequential order. Unless struck off, attempt of a question shall be counted even if attempted partly. Any page or portion of the page left blank in the Question-cum-Answer Booklet must be clearly struck off. PHKM-U-STS/34 2 [ P.T.O. खण्ड--& / SECTION—A 1. (૦) दो घटनाएँ এ और ૭ इस प्रकार हैं कि 1१4) = : PIB) = ; और P(A|B) + ૭14) = लि निम्नलिखित के मान निकालिए : ലി (i) P(A|B°)+P(BIA‘) Two events A and Bare such that P(A) = त P(B) = ; and P(A|B) + 224 = लि Evaluate the following : ¢ 245૫૭5) (i) P(A|B‘)+ P(B|A‘) ‏رم‎ मान लीजिए कि दो यादृच्छिक चरों £ और Y का संयुक्त प्रायिकता फलन ઝ-1 xy {५ ४ = ; × = 1, 2, 3 ओर 0 < {/ < 1 है। निम्नलिखित का परिकलन कीजिए : 0 (೫೬2 और ves) (ii) P(X <2 Suppose the joint probability function of two random variables X and Y is 2-1 ‎৬-3; ×=1, 2, 3 and 0 ८४ < 1‏ = 9 مر ‎Compute the following : 1 ‎(0 (೫೬2 and ¥>] (૪ P(X > 2) ‎ര मान लीजिए कि 20, 2८2, -- स्वतंत्र और ਧਕੰਧਸ बंटित यादृच्छिक चरो का एक अनुक्रम है, जिसका माध्य (4) ‎और प्रसरण (032) < = है, तथा मान लीजिए कि 5, = 2) 423 + --- +X, है। दर्शाइए कि यादृच्छिक चरों का अनुक्रम (5, ) दुर्बल बृहत्‌ संख्या नियम ‏رم‎ का पालन नहीं करता है। Let 20, 202, ` ` ` is a sequence of independent and identically distributed random variables with mean () and variance (02) < and assume ७7 =X,+Xq + ' +X,. Show that WLLN does not hold for sequence (5) of random variables. ‎(0 एक अच्छे आकलक का मापदण्ड लिखिए। মানা कि 20, 22 स्वतंत्र और सर्वसम बंटित (10) P(A) यादृच्छिक चर हैं, तब दर्शाइए कि ੭. के आकलन के लिए T= 201 +X, पर्याप्त है, जबकि T= X, +2202 पर्याप्त नहीं है। ‎Write the criterion of a good estimator. Let X,, 22 be iid P(A) random variables, ‎then show that T= 20 + 22 is sufficient while T = श] + 2202 is not sufficient for estimating A. ‎PHKM-U-STS/34 2 ‎10 ‎10 ‎और प्रसरण 200 वाली एक‏ پر ‎Ho: ॥ = 100 विरुद्ध छ]: × 100 के परीक्षण के लिए अज्ञात माध्य‏ مم ‎प्रसामान्य समष्टि से आमाप 50 का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श लिया गया है। यदि ৫ = 0-05 है, તો क्रांतिक क्षेत्र‏ ‎प्राप्त कीजिए।‏ ‎For testing Hp: | = 100 vs. छा: ॥ #100, ೩ random sample of size 50 is drawn from a normal population with unknown mean ம and variance 200. Ifa ‏۰ھ‎ 05, ‎then obtain the critical region. मानक प्रसामान्य प्रायिकता वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल ‎AREAS UNDER STANDARD NORMAL PROBABILITY CURVE Standard normal probability curve is given by ‎«કામ 12? |, ‏وو‎ < ੦੦ fla = exe ಸ್ವ } <Z< ‎where ‎2 ‎= 2 7800 _ 2 -॥ .. 770, 1) ൦ ‎ర్వా ‎10 ‏جڑے ‏2-0 ‎X=x ‎2-2 ‎P(0<Z<z) ‎The following table gives the shaded area in the diagram, viz., PO < 2 < 2 for different values of z : ‎N ‎| 0.00 | ‏لن ‎01 ‎| 002 | ‎0.03 ‎| ००५ | ‎| 005 | ‎| 006 | ‎0.07 ‎0.08 ‎| ००१ | ‎0.0000 ‎0.0398 ‎0.0793 ‎0.1179 ‎0.1554 ‎0.1915 ‎0.2257 ‎0.2580 ‎0.2881 ‎0.3159 ‎0.3413 ‎0.3643 ‎0.3849 ‎0.4032 ‎0.4192 ‎0.4332 ‎0.4452 ‎0.4554 ‎0.4641 ‎0.4713 ‎0.4772 ‎0.4821 ‎0.4861 ‎0.4893 ‎0.4918 ‎0.4938 ‎0.4953 ‎0.4965 ‎0.4974 ‎0.4981 ‎0.4987 ‎0.4990 ‎0.4993 ‎0.4995 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎€ €૩ ६० 6੭ ६० ६० ୯୬ ¿୬ ६० ७० 8૩ ੧੦ ੧੦ ૩૩૩૪૩૩૪૩૪૩ ~ ~ ടട © ® ~© ଥୀ ® ଥ୬ స ~ © © 9-૩૦ ળ ® 6૩1૩-૯૦૭૦ ~ @ ଧୀ ® ૪૩૫૩-૦૪૭૦ -૦ળ ® ८ +> ~© ‎0.0040 ‎0.0438 ‎0.0832 ‎0.1217 ‎0.1591 ‎0.1950 ‎0.2291 ‎0.2611 ‎0.2910 ‎0.3186 ‎0.3438 ‎0.3665 ‎0.3869 ‎0.4049 ‎0.4207 ‎0.4345 ‎0.4463 ‎0.4564 ‎0.4649 ‎0.4719 ‎0.4778 ‎0.4826 ‎0.4864 ‎0.4896 ‎0.4920 ‎0.4940 ‎0.4955 ‎0.4966 ‎0.4975 ‎0.4982 ‎0.4987 ‎0.4991 ‎0.4993 ‎0.4995 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎0.0080 ‎0.0478 ‎0.0871 ‎0.1255 ‎0.1628 ‎0.1985 ‎0.2324 ‎0.2642 ‎0.2939 ‎0.3212 ‎0.3461 ‎0.3686 ‎0.3888 ‎0.4066 ‎0.4222 ‎0.4357 ‎0.4474 ‎0.4573 ‎0.4656 ‎0.4726 ‎0.4783 ‎0.4830 ‎0.4868 ‎0.4898 ‎0.4922 ‎0.4941 ‎0.4956 ‎0.4967 ‎0.4976 ‎0.4982 ‎0.4987 ‎0.4991 ‎0.4994 ‎0.4995 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎0.0120 ‎0.0517 ‎0.0910 ‎0.1293 ‎0.1664 ‎0.2019 ‎0.2357 ‎0.2673 ‎0.2967 ‎0.3238 ‎0.3485 ‎0.3708 ‎0.3907 ‎0.4082 ‎0.4236 ‎0.4370 ‎0.4484 ‎0.4582 ‎0.4664 ‎0.4732 ‎0.4788 ‎0.4834 ‎0.4871 ‎0.4901 ‎0.4925 ‎0.4943 ‎0.4957 ‎0.4968 ‎0.4977 ‎0.4983 ‎0.4988 ‎0.4991 ‎0.4994 ‎0.4996 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎0.0160 ‎0.0557 ‎0.0948 ‎0.1331 ‎0.1700 ‎0.2054 ‎0.2389 ‎0.2704 ‎0.2995 ‎0.3264 ‎0.3508 ‎0.3729 ‎0.3925 ‎0.4099 ‎0.4251 ‎0.4382 ‎0.4495 ‎0.4591 ‎0.4671 ‎0.4738 ‎0.4793 ‎0.4838 ‎0.4875 ‎0.4904 ‎0.4927 ‎0.4945 ‎0.4959 ‎0.4969 ‎0.4977 ‎0.4984 ‎0.4988 ‎0.4992 ‎0.4994 ‎0.4996 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎0.0199 ‎0.0596 ‎0.0987 ‎0.1368 ‎0.1736 ‎0.2088 ‎0.2422 ‎0.2734 ‎0.3023 ‎0.3289 ‎0.3531 ‎0.3749 ‎0.3944 ‎0.4115 ‎0.4265 ‎0.4394 ‎0.4505 ‎0.4599 ‎0.4678 ‎0.4744 ‎0.4798 ‎0.4842 ‎0.4878 ‎0.4906 ‎0.4929 ‎0.4946 ‎0.4960 ‎0.4970 ‎0.4978 ‎0.4984 ‎0.4989 ‎0.4992 ‎0.4994 ‎0.4996 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎0.0239 ‎0.0636 ‎0.1026 ‎0.1406 ‎0.1772 ‎0.2123 ‎0.2454 ‎0.2764 ‎0.3051 ‎0.3315 ‎0.3554 ‎0.3770 ‎0.3962 ‎0.4131 ‎0.4279 ‎0.4406 ‎0.4515 ‎0.4608 ‎0.4686 ‎0.4750 ‎0.4803 ‎0.4846 ‎0.4881 ‎0.4909 ‎0.4931 ‎0.4948 ‎0.4961 ‎0.4971 ‎0.4979 ‎0.4985 ‎0.4989 ‎0.4992 ‎0.4994 ‎0.4996 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎0.0279 ‎0.0675 ‎0.1064 ‎0.1443 ‎0.1808 ‎0.2157 ‎0.2486 ‎0.2794 ‎0.3078 ‎0.3340 ‎0.3577 ‎0.3790 ‎0.3980 ‎0.4147 ‎0.4292 ‎0.4418 ‎0.4525 ‎0.4616 ‎0.4693 ‎0.4756 ‎0.4808 ‎0.4850 ‎0.4884 ‎0.4911 ‎0.4932 ‎0.4949 ‎0.4962 ‎0.4972 ‎0.4979 ‎0.4985 ‎0.4989 ‎0.4992 ‎0.4995 ‎0.4996 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎0.0319 ‎0.0714 ‎0.1103 ‎0.1480 ‎0.1844 ‎0.2190 ‎0.2517 ‎0.2823 ‎0.3106 ‎0.3365 ‎0.3599 ‎0.3810 ‎0.3997 ‎0.4162 ‎0.4306 ‎0.4429 ‎0.4535 ‎0.4625 ‎0.4699 ‎0.4761 ‎0.4812 ‎0.4854 ‎0.4887 ‎0.4913 ‎0.4934 ‎0.4951 ‎0.4963 ‎0.4973 ‎0.4980 ‎0.4986 ‎0.4990 ‎0.4993 ‎0.4995 ‎0.4996 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎0.0359 ‎0.0753 ‎0.1141 ‎0.1517 ‎0.1879 ‎0.2224 ‎0.2549 ‎0.2852 ‎0.3133 ‎0.3389 ‎0.3621 ‎0.3830 ‎0.4015 ‎0.4177 ‎0.4319 ‎0.4441 ‎0.4545 ‎0.4633 ‎0.4706 ‎0.4767 ‎0.4817 ‎0.4857 ‎0.4890 ‎0.4916 ‎0.4936 ‎0.4952 ‎0.4964 ‎0.4974 ‎0.4981 ‎0.4986 ‎0.4990 ‎0.4993 ‎0.4995 ‎0.4997 ‎0.4998 ‎0.4998 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.4999 ‎0.5000 ‎PHKM-U-STS/34 ‎[ ௨௭௦. 2. (a) मान लीजिए कि दो यादृच्छिक चरो 2 તથા 7 का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन >, 0<2x<3y<6 fix y=} 3 0, अन्यथा है। निम्नलिखित की गणना कीजिए : ( EW|X =x) 8 (ण (८ |X = 20) Let the joint probability density function of two random variables X and Y be £ =, 0 < 2× < 3४ < 6 f(x y=) 3 0, otherwise Compute the following : છે 8712-2૦ 10 @ E(var(¥|X = ૭) 10 ‎यादृच्छिक चर 2 का बटन फलन प्राप्त कीजिए जिसका अभिलक्षण फलन‏ رم ‎85൦, --০=০ < £ < =‏ ‎है। इसके अलावा ૦ (2) के संदर्भ में P(X > 2/2) की गणना भी कीजिए, जहाँ‏ 162 _ ‎అ(2 = (5 ಡ್‌್‌ 2 ‏وو‎ ‎Find the distribution function of random variable X, for which the characteristic function is ‎2 ‎0(0 = €" , -= < £ <= ‎Also compute P(X > 2/2) in terms of ® (2), where ‎ঞ(9=[*. 2 अ = ದಾಲ ¬= Jon 15 ‎(© দান लीजिए જિ 20, ୨୧୦, ଜର Xo, स्वतंत्र और सर्वसम aa (iid) 1/0, 1) विचर ‏اق‎ ‏وھ‎ এৰে छ ‎xX? +X2 ദ ‎का सीमान्त बंटन ज्ञात कीजिए। ‎PHKM-U-STS/34 4 (b) (0 Let 2൨ 202, '› 22% be iid 7 (0, 1) variates. Find the limiting distribution of Xe +X? poet 22 15 मान लीजिए कि, शून्य के सामीप्य में, यादृच्छिक चर 2 જે आपूर्णं जनक फलन का अस्तित्व है और यदि 12,2753 5 BX") = 5 १९ ; 7-12 3, --. है, तो निम्नलिखित के মান ज्ञात कीजिए : ¢ P(|X-0-75|<1-5) (i) + P(|X—p|<o); ॥ = E(X) ओर ०” = var(X) [प्रयोग कीजिए 1. 84 = 1. 36] Let moment generating function of random variable X exist in the neighbourhood of zero and if 1 2 2771 E(X") = ~ +(-])" = + ; 7-১23- (27) 5 ୮1 5" 5 ], then find the values of the following : (i) P(|X-0-75|<1-5) 10 (i) P(|X—p|<o); p = E(X) and ൦2 = var(X) 10 [Use ૪1-84 =1-36] (ઈ ‏ہجو‎ असमिका एवं राव-ब्लैकवेल সময় के महत्त्व लिखिए। (i) मान लीजिए જિ 2 ~ 80, છ, तब 80-68) का एकसमान न्यूनतम प्रसरण अनभिनत आकलक (UMVUE) निकालिए। (i) Write the importance of Cramer-Rao inequality and Rao-Blackwell theorem. 5 (છે Let उन 50, 9, then find the uniformly minimum variance unbiased ‘estimator (UMVUE) of 80 ¬ 0). 10 चरघातांकी समष्टि f(x; % గ) = ടേ? 59, ৫ < × < 850 से लिए गए एक यादृच्छिक प्रतिदर्श के लिए ८ और 0 के अधिकतम संभाविता आकलक ज्ञात कीजिए। Obtain the maximum likelihood estimates of a and 3 for a random sample from the exponential population 0८ % ౧) = ౦౭ (८५), ৫ < × < > B>0 15 PHKM-U-STS/34 5 [ P.T.O. 4. (જી Ho: ॥ = 0 विरुद्ध ‏ریم‎ = 1 के परीक्षण के लिए, 0 (= 0 - 05) आमाप का शक्ततम परीक्षण प्राप्त कीजिए, जबकि 25 आमाप का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श N(u, 16) समष्टि से लिया गया है। Find the most powerful test of size %(- 0 - 05) for testing 130: ‏سر‎ = 0 vs. ‏رط‎ : 4 = 1, given a random sample of size 25 from ۸۷ {4 , 16) population. 20 (b) एक प्रचय में कुछ दोषपूर्ण वस्तु 8۱ 25 वस्तुओं के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में 6 दोषपूर्ण वस्तुएँ हैं, जिसकी प्रायिकता p, = 9 है ओर 19 दोष रहित वस्तुएँ हैं, जिसकी प्रायिकता 22 = 1 _ 0 है। तब निम्न का उपयोग करके 6 का आकलन कीजिए : 0 MLE વિધિ (% न्यूनतम ‰2 -विधि ‏ہبہ‎ आपरिवर्तित न्यूनतम ;( 2 -विधि A lot consists of some defective items. A random sample of 25 items has 6 defective items with probability છ] = 9 and 19 non-defective items with probability 122 = 1-8. Then estimate 6 using the following : (0 MLE method (i) Minimum x?-method (ii) Modified minimum y?-method 15 ‎मैन-हिटनी നിണ और विल्कॉक्सन चिह्न परीक्षण के बीच अंतर कीजिए। निम्नलिखित आँकड़े दो देखभाल‏ م ‎कार्यक्रमों A और BA 15 गर्भवती महिलाओं के APGAR ಹಾಗೆ से सम्बन्धित हैं :‏ ‎कार्यक्रम : 8 7 6 2 5 8 7 3‏ ‎कार्यक्रम ৪ : 9 9 7 8 10 9 6‏ ‎क्या दोनों देखभाल कार्यक्रमों के अन्तर्गत गर्भवती महिलाओं के APGAR ಹಾಗೆ में सार्थक अन्तर है?‏ ‎[दिया गया है, ರ = 10] Differentiate between Mann-Whitney U-test and Wilcoxon sign test. The following data pertain to APGAR scores of 15 pregnant women in two care programmes A and B: ‎Programme A: 8 7 6 2 5 8 7 3 ‎Programme ૭ : 9 9 7 8 10 9 6 Is there a significant difference in APGAR scores of pregnant women under the two care programmes? 15 ‎[Given, 000.05) = 10] खण्ड--8 / SECTION—B ‎5. (૦) आप एक रैखिक समाश्रयण निदर्श के प्राचलों को आकलित करने में न्यूनतम वर्गों के सिद्धान्त के उपयोग को कैसे उचित ठहरायेंगे? सामान्य संकेतनों के साथ दर्शाइए कि समाश्रयण निदर्श y= 2856 के लिए 3 का न्यूनतम वर्ग आकलक B = (2071 X’y శే | ঢ়} 7 ‎How will you justify the usage of the principle of least squares in estimating the parameters of a linear regression model? With usual notations, for the regression model y = 20878, show that the least square estimator of 0 is ‎8 = (220 12 ~ ~ 10 ‎PHKM-U-STS/34 6 20-27 ¢) (9 यदि 2, Nala, 2) के रू aes है, तो | | का ৰন সাম कीजिए। ‎7४3‏ و ‎( यदि 20, 22 और 203 तीन चर हैं, તો 23 के प्रभाव को समाप्त करते हुए ‏ہر‎ और 202 के बीच आंशिक सहसम्बन्ध गुणांक, 012.3, के लिए व्यंजक, सरल सहसम्बन्ध गुणांकों के रूप में, प्राप्त कीजिए। ‎i) 20 -X (४ If X is distributed થડ N3(, 2), find the distribution of ۳ „ˆ | ৷ 7 2-23 ‎(i) If X,, 22 and 73 are three variables, obtain the expression for the partial correlation coefficient between X, and 202 eliminating the effect of X3, 012.3» in terms of simple correlation coefficients. 5 ‎(% X, और 22, 504, ટે) से क्रमशः (ಗ) x p) और ‏یں‎ x p) कोटि के स्वतंत्र आँकड़ों के समुच्चय ಕ| 2 दर्शाइए कि 1727 का बंटन T2(p, 7-2) के रूप में हुआ है, जहाँ n=n, +n, है और ‏ضر‎ तथा ‏تر‎ ‎n ‎क्रमशः होटेलिंग 72 तथा महालानोबिस 102 को निरूपित करते हैं। ‎20 and 202 are independent data sets of order டி x ற and (12 x p) respectively 7111202 72 ‎71 = ‏ہہ‎ + 712, and 72 and D? represent the Hotelling’s 72 and Mahalanobis D? respectively. 10 ‎from N,(u, 2). Show that is distributed as T? (p, 7-2), where ‎(૭) समष्टि ઈ = (८, & ০ ૦ €} के लिए निम्नलिखित प्रतिचयन अभिकल्पना पर विचार कीजिए : ‎1 1 ‎க दी) = =, Pl{a, ‏بط‎ e})= ‎0 ‎Pia ૮ 6) = 2, ‏بط))۶‎ © पी) = ‎১ ‎~ Ale Ol " ©| 2 ‎PUB ૦ €) = ~, Pliigd ০) = ‎2 6 प्रथम कोटि તથા द्वितीय कोटि की अंतर्वेश प्रायिकताओं की गणना कीजिए। अतः दर्शाइए कि यह एक स्तरित अभिकल्पना का मामला है। स्तरों को उनकी इकाइयों के साथ चिहित कीजिए। ‎For the population U = {a, & ૮ d, e}, consider the following sampling design : ‎Pia ‏بط‎ ୩) = 1, Pia 8, 0) = ¬, ‏ات ‎മ‏ ‎ale ‎> ‎(கல అ) = ~, 2({8, ५ पी) = ‎aie ‎208 © ೮) = ~, (० d, थी) = ‎Ale ‎Ole ‎Calculate the first-order and second-order inclusion probabilities. Hence show that it is a matter of a stratified design. Identify the strata with their units. 10 ‎PHKM-U-STS/34 7 ۲۶7.9, (૭) मान लीजिए कि एक களை જા आपतन आव्यूह 1 N= =- ୦ = = +¬ ಐ କଉ യ 1 1 0 1 1 0 1 है। दर्शाइए कि-- டு अभिकल्पना संबद्ध संतुलित है; (४) इसकी दक्षता कारक छ = 5 al Let the incidence matrix of a design be 1 1 1 0 orf 101 0 1 1 1 1 ‡ Show that— (0 the design is connected balanced; 8 its efficiency factor is E = 5 6. ‏ہم‎ (2, ट) का द्विचर प्रसामान्य ട്ടേ 3૫04), 12) ୦୮, ०३, 0) है। (0 दर्शाइए कि 2 और ४ स्वतंत्र हैं, यदि और केवल यदि 0 = 0 है। (૪ यदि (>, Y) જા बंटन BN(3, 1, 16, 25, 3 है, તો ‏مم‎ < ४ < 8 | 2 = 7) निकालिए, दिया है (2) = 0 . 9772 और ൫(-0-25) = 0 . 4017 तथा ம, -ಇ से x तक का मानक प्रसामान्य वक्र के अन्तर्गत क्षेत्रफल दर्शाता है। Y (iii) यदि (2, Y) જા बंटन 3]૫(0, 0, 1, 1, 0 है, तो 2 = ¥ का बंटन क्या होगा? ജ FAX, Np (}}, ટે) का अनुसरण करता है, તો ( का बहुचर विस्तरण लिखिए। (X, Y) has bivariate normal distribution 1101, 14 2› 02, ০3, 0). (i) Show that 2 and Y are independent if and only if ‏م‎ 0. ‏رم‎ If (517) follows 91 3, 1416 25, 3 obtain P(8<Y<8|X=7), given (2)=0-9772 and ®(-0-25)=0-4017, and (x) represents the area under the standard normal curve from ୦୭ to x. (iii) If (X, Y) follows 800, 0, 1, 1, 0), what will be the distribution of Z = 7 (iv) State the multivariate extension of (i) when X follows గ (|) 2) PHKM-U-STS/34 8 6+4=10 + (6) मुख्य घटकों और विहित सहसम्बन्ध को परिभाषित कीजिए। मुख्य घटकों का उपयोग करके कोई दत्त समानयन कैसे प्राप्त कर सकता है? यदि (20, 202) का सहप्रसरण आव्यूह = Define principal components and canonical correlation. How can one attain data reduction using principal components? If (X,, 202) has covariance matrix 2੧, 1| then find the principal components. 15 है, तो मुख्य घटकों को ज्ञात कीजिए। (0) एक साधारण रैखिक समाश्रयण निदर्श ৪ = 80 + 01 × + 8 के लिए, जहाँ ‏ہم‎ और 0) प्राचल हैं तथा દ का माध्य 0 और प्रसरण ७” अज्ञात है, न्यूनतम वर्ग सिद्धान्त और अधिकतम संभाविता विधि से 90 और 8] જે आकलक निकालिए। जाँच कीजिए कि क्या વે एकसमान ಕ| For the simple linear regression model ४ = 00 + 01× + 8, where By and ‏ہم‎ are parameters and ६ has zero mean and an unknown variance ૭૦૨, find the estimates of 0 0 and 3] by the principle of least squares as well as the method of maximum likelihood. Examine whether they are identical. 15 7. (૦) एक बहुत बड़ी समष्टि को दो स्तरों में विभाजित किया गया है। नेमेन नियतन के अनुसार, दो स्तरों के लिए, आमाप 7 के स्तरित यादृच्छिक प्रतिदर्श की इकाइयों के नियतन nj और ‏یہ‎ हैं और दूसरे प्रकार की नियतन विधि के अनुसार ‏ہہ‎ तथा ‏یہ‎ हैं। 7 = - तथा | = 71 को परिभाषित कीजिए। तब सिद्ध कीजिए कि नेमेन नियतन के 7०2 7712 अन्तर्गत स्तरित यादृच्छिक प्रतिचयन के सापेक्ष स्तरित यादृच्छिक प्रतिचयन की दक्षता _ _ 041)“ (ur +1)(u +r) al A very big population is divided into two strata. The allocation of units of stratified random sample of size n for the two strata under Neyman allocation , ; 7 are nj and nj, and under other type of allocation are n, and 7੧2. Define 7 = 2 72 and p= _୮1 Then prove that the efficiency of stratified random sampling with 7712 respect to stratified random sampling under Neyman allocation is given by u(r +1)? (ur +1)(ut+r) 20 PHKM-U-STS/34 9 [ P:T-0. ‎एक बैंक में इसके कम्प्यूटर की फाइलों में 40000 ग्राहक हैं, जिनको 4000 शाखाओं में વાંટા गया है, प्रत्येक‏ رم ‎शाखा ठीक 10 ग्राहकों का प्रबन्ध करती है। जिन ग्राहकों को बैंक का ऋण दिया गया है, उनके अनुपात का‏ ‎आकलन करने के लिए 40 शाखाओं का एक सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श चुना गया है। चुने गये प्रतिदर्श में से,‏ ‎प्रत्येक शाखा i के लिए ग्राहकों, जिन्होंने ऋण लिया है, उनकी एक सूची (4;) तैयार की गई है;‏ ‎है। चयनित प्रतिदर्श से प्रेक्षित आँकड़े‏ 40 ,... ,2 ,1= { ‎40 40 ₹ 4; =200 और 3 47 = 1156 i=1 151 ‎प्राप्त हुए हैं। (9 यह किस प्रकार का प्रतिचयन है? ‎(i) ೫೫೪ जिसका आकलन करना है, उसके लिए व्यंजक (एक्सप्रेशन) लिखिए ओर उसका अनभिनत आकलक ज्ञात कीजिए। ‎(च) भाग (છે में प्राप्त अनभिनत आकलक के विचरण का आकलन कीजिए। ‎A bank has 40000 clients in its computer files, divided into 4000 branches, each managing exactly 10 clients. To estimate the proportion of clients for whom the bank has granted loan, a simple random sample of 40 branches is selected. From the selected sample, for each branch i, a list of clients (A;) having a loan is prepared; £ = 1, 2, + 40. The data observed from the selected ‎sample are 40 40 ટ 2 =200 and ൪൧251156 157 151 (0 What type of sampling is this? 3 ‎(ii) State the expression of the parameter to estimate and obtain its unbiased estimate. 6 ‎(iti) Estimate the variance of the unbiased estimator obtained in part (ii). 6 ‎(© 0 सत्यापित कीजिए कि क्या नीचे दिये गये BIBD संभव हैं : (1) v=b=22, r=k=7, 2 = 2 (2) v=10, b=18, 7 =9, k=5,A=4 ‎दिया गया है कि களை वियोज्य 21 ‎PHKM-U-STS/34 10 Verify whether the following BIBD are possible : (1) v=b=22, r=k=7, 252 (2) v=10, b=18, 7 =9, = 5, A=4 Given that the design is resolvable. 8 ( नीचे एक खंडक अभिकल्पना का आपतन आव्यूह (1) दिया गया है। समायोजित उपचार वर्गों के योग से संबद्ध स्वातंत्र्य-कोटियाँ और त्रुटि वर्गों के योग के लिए स्वातंत्र्य-कोटियाँ ज्ञात कीजिए : 1000 1 0 1 0 N= 1010 0 10 1 0 1 0 1 0001 Given below is the incidence matrix (N) of a block design. Find the degrees of freedom associated with the adjusted treatment sum of squares and the degrees of freedom for the error sum of squares : 1000 ८ © ८) = = © ^~ ‏کے‎ © © ८ ८ ८) ~ ~ ~ ‏کے کے‎ ஓ 8. (૦ एक फसल જી उपज विकसित करने के लिए एक 22 -बहु-उपादानी अभिकल्पना का उपयोग किया गया है। दो घटकों A ओर 5 का उपयोग दो स्तरो, निम्न (-1) ओर उच्च (41), पर किया गया है। प्रयोग को पूर्णतः यादुच्छिकीकृत तरीके से दो बार પુનરાવર્તિત किया गया है। प्राप्त आँकड़े इस प्रकार हैं : | ਥਲ ધ आकलित औसत प्रभाव 4 छ | + | - | | 8 | | - | -5 + 2 सभी उपजों के वर्गों का योग = 510-5 सभी उपजों का कुल योग = 50-00 (9 आँकड़ों का विश्लेषण कीजिए और महत्त्वपूर्ण घटकों की पहचान कीजिए। (i) समाश्रयण निदर्श विकसित कीजिए और जब A તથા 13 दोनों निम्न स्तर (-1 पर हों, तब उपज का पूर्वानुमान कीजिए। [दिया गया है, Fy, 4, 0.05) 77:71) PHKM-U-STS/34 11 [ P.T.O. A 2?-factorial design was used to develop the yield of a crop. Two factors A and B were used at two levels : low (-1) and high (+1). The experiment was replicated two times with completely randomized way. The data obtained are as follows : Factor Estimated Average A ഞ്ഞ Effect + ॥ ea | न्रा eee) 5:0007 + -5 + + 2 The sum of squares of all the yields = 5105 The grand total of all the yields = 50-00 (i) Analyze the data and identify the significant factors. 12 (ii) Develop the regression model and predict the yield when A and 8 both are at low level (1). 8 [Given, Fy, 4, 0.05) = 7 ` 71] (0) एक ண்ண 7 के समष्टि माध्य ए का आकलन करने के लिए, 1000 आमाप का एक सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श 1000000 आमाप की समष्टि में से प्रतिस्थापन रहित चुना गया है। सहायक अभिलक्षण X का समष्टि माध्य X = 15 है। अन्य परिणाम नीचे दिये गये हैं : 52 =20, 5୫2 =25, sy=15, ૪-14, y=10 (9 अन्तर, अनुपात और समाश्रयण आकलकों का उपयोग करते हुए 7 का आकलन कीजिए। (8) इन आकलकों की MSE का आकलन कीजिए। 7 का आकलन करने के लिए हमें कौन-सा आकलक चुनना चाहिए? To estimate the population mean ૪ of a characteristic ४, a simple random sample of size 1000 was selected from a population of size 1000000 by without replacement. The population mean of an auxiliary character X is X =15. The other results are given below : 3 52 20, s2=25, s,,=15, 2-14, ૪-10 ४ xy (i) Estimate Y using difference, ratio and regression estimators. 6 8 Estimate the MSE of these estimators. Which estimator should we choose to estimate Y? 9 (८ मान्यताओं का उल्लेख करते हुए अन्योन्यक्रियाओं सहित द्विधा वर्गीकरण के विश्लेषण में उपयोग किये गये निदर्श જો लिखिए। इसके सन्दर्भ में किन परिकल्पनाओं का परीक्षण किया जाता है? वर्गों के योग का व्यंजक प्राप्त कीजिए और ANOVA को पूर्ण कीजिए। Write down the model used in the analysis of a two-way classification with interactions, stating the assumptions. What are the hypotheses tested in this scenario? Obtain the expression for the sum of squares and complete the ANOVA. 15 * × × PHKM-U-STS/34 12 25SS—48