QP-CSM-24-MATHEMATICS-PAPER-I-031024

Civil Services (Main) Examination, 2024 PHKM-U-MTH गणित (प्रश्न-पत्र-1) निर्धारित समय : तीन घण्टे अधिकतम अंक : 250 प्रश्न-पत्र सम्बन्धी विशेष अनुदेश (उत्तर देने । के पूर्व निम्नलिखित निर्देशों को कृपया सावधानीपूर्वक पढ़िए पूर्व निम्नलिखित निर्देशों को कृपया सावधानीपूर्वक पढ़िए) इसमें आठ प्रश्न हैं जो दो खण्डो में विभाजित हैं तथा हिन्दी और अंग्रेजी दोनों ਸੌ छपे हुए | उम्मीदवार को कुल पाँच प्रश्नों के उत्तर देने हैं। प्रश्न संख्या 1 और 5 अनिवार्य हैं तथा बाकी प्रश्नों में से प्रत्येक खण्ड से कम-से-कम एक प्रश्न चुनकर तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए। प्रत्येक সহল/সাম के लिए नियत अंक उसके सामने दिए गए हैं। प्रश्नों के उत्तर उसी प्राधिकृत माध्यम में लिखे जाने चाहिए, जिसका उल्लेख आपके प्रवेश-पत्र में किया गया है, और इस माध्यम का स्पष्ट उल्लेख प्रश्न-सह-उत्तर (Fo ఈం ए०) पुस्तिका के मुखपृष्ठ पर निर्दिष्ट स्थान पर किया जाना चाहिए) प्राधिकृत माध्यम के अतिरिक्त अन्य किसी माध्यम में लिखे गए उत्तर पर कोई अंक नहीं मिलेंगे। यदि आवश्यक हो, तो उपयुक्त आँकड़ों का चयन कीजिए તથા उनको निर्दिष्ट कीजिए। जब तक उल्लिखित न हो, संकेत तथा शब्दावली प्रचलित मानक अर्थो મેં प्रयुक्त है। प्रश्नों के उत्तरौ की गणना क्रमानुसार की जाएगी। यदि काटा नहीं हो, तो प्रश्न के उत्तर की गणना જી जाएगी चाहे वह उत्तर अंशतः दिया गया हो। प्रश्न-सह-उत्तर पुस्तिका में खाली छोड़ा हुआ पृष्ठ या उसके अंश को स्पष्ट रूप से काटा जाना चाहिए। MATHEMATICS (PAPER-I) Time Allowed : Three Hours Maximum Marks : 250 QUESTION PAPER SPECIFIC INSTRUCTIONS (Please read each of the following instructions carefully before attempting questions) There are EIGHT questions divided in two Sections and printed both in HINDI and in ENGLISH. Candidate has to attempt FIVE questions in all. Question Nos. 1 and 5 are compulsory and out of the remaining, THREE are to be attempted choosing at least ONE question from each Section. The number of marks carried by a question/part is indicated against it. Answers must be written in the medium authorized in the Admission Certificate which must be stated clearly on the cover of this Question-cum-Answer (QCA) Booklet in the space provided. No marks will be given for answers written in a medium other than the authorized one. Assume suitable data, if considered necessary, and indicate the same clearly. Unless and otherwise indicated, symbols and notations carry their usual standard meanings. Attempts of questions shall be counted in sequential order. Unless struck off, attempt of a question shall be counted even if attempted partly. Any page or portion of the page left blank in the Question-cum-Answer Booklet must be clearly struck off. PHKM-U-MTH/10 1 [मक 1. (a) (b) (6) (0) (e) 2. (a) खण्ड--& / SECTION—A মানা প্ৰ, R* की एक उपसमष्टि ই, जो कि ண മട -2, 5-3, ৮2 =(2, 3, 1, -4), v3 = (3, 8, -3 -5 द्वारा जनित है। तब 77 का एक आधार एवं विमा ज्ञात कीजिए तथा ‏ہر‎ के इस आधार को R* के एक आधार तक विस्तृत कीजिए। Let H be a subspace of 4۶ spanned by the vectors છૂ = (1, -2 5, 43), ৮2 = 2, 3, 1, ¬ 4}, ৮3 = (3, 8, ¬ 3, ¬ 5). Then find a basis and dimension of 77, and extend the basis of H to a basis of R*. মানা 7: R° -> 3 एक रैखिक संकारक है तथा एए पर [२४ का एक आधार ૭ = (છ, ৮2, ৮3} है। माना कि Tv, = (1, 1, 0), 7०2 = (1, 0, -1), 7०३ = (2, 1, -1) हैं। 7 की परिसर समष्टि तथा शून्य समष्टि के लिए एक आधार ज्ञात कीजिए। Let T: 183 _› ]{ be a linear operator and 8 ={U}, ৮2, ৮3} be a basis of 183 over R. Suppose that Tv, = 0, 1, 0), 7०2 = 0, 0, ¬ 1), Tv3 = (2, 1, -1). Find a basis for the range space and null space of T. 2 के सभी मानों के लिए फलन - ھا ‎লে एना‏ ‎০, x=0‏ x#0 के सांतत्य की चर्चा कीजिए। Discuss the continuity of the function 1 বশত re **0 ‏ئ07‎ ಹರಗಿ for all values of x. टेलर प्रमेय द्वारा In(x) का (× _ 1) की વાત में प्रसार कीजिए तथा 1(1 . 1) का दशमलव के चार स्थानों तक सही मान ज्ञात कीजिए। Expand In(x) in powers of (± - 1) by Taylor’s theorem and hence find the value of 100 . 1) correct up to four decimal places. वृत्त ‏خر‎ + 2/2 + 22 = 9, x-y+2=38 होकर जाने वाले लम्ब वृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए। Find the equation of the right circular cylinder which passes through the circle 2 >^ + + 2~ = 9, x-y+z=3. माना R के ऊपर 85 पर एक रैखिक संकारक 7, 72 y, 2) = (2% 4x-y, 2× + 30 - थे द्वारा परिभाषित है। क्या 7 व्युत्क्रमणीय है? यदि हाँ, तो अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए तथा 7-1 ज्ञात कीजिए। Consider a linear operator T on আও over રિ defined by T(x, छ 2 = (2৯% 4x-y, 2x+3y-2). 15 7 invertible? If yes, justify your answer and find ۰ PHKM-U-MTH/10 2 10 10 10 10 10 15 (0) यदि ४ = (± + 9) / (1 ೨0) तथा ৮ = 180. × + 157) 3, तब Ay, ०) / 0( y ज्ञात कीजिए। क्या ४ (० (a) (৮) (© (a) धि तथा ४ फलनतः सम्बन्धित है? यदि हाँ, तो सम्बन्ध ज्ञात कीजिए। If u=(x+y)/(l-xy) and v= † 37 ˆ! × + 151 ly, then find ૦ 1) / ਗ% 0. Are u and v functionally related? If yes, find the relationship. रेखा ‰ = 3 - 61 y=2t, 2 = 3 + 2£ જા समतल 32449-52426 = 0 મેં प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए। Find the image of the line x=3-6t, y=2t, z=3+2t in the plane 3x+4y-5z+26 = 0. माना ঢ = Moyo (ए) वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि दर्शाता દૈ! 112১2 શિ) के मानक 1 2 आधार के सन्दर्भ ೫00) = | -. ] ৮ द्वारा दिए गए रैखिक प्रतिचित्रण ¢: 7 ಎ ४ का आव्यूह ज्ञात कीजिए और तब હ की कोटि (रॅक) ज्ञात कीजिए। क्या ¢ व्युत्क्रमणीय है? अपने उत्तर का तर्क प्रस्तुत कीजिए। Let V = 12১2 (र) denote a vector space over the field of real numbers. Find the 1 matrix of the linear mapping ൫:17 > 17 given by (ల) = [ 3 -1 standard basis of 7722 (र), and hence find the rank of 0. Is 0 invertible? Justify your answer. ) v with respect to ऊँचाई ॥ તથા अर्ध-शीर्ष कोण ૦ वाले एक ಸತ್ತ के अंतर्गत सबसे बड़े बेलन का आयतन ज्ञात ‏ا‎ Find the volume of the greatest cylinder which can be inscribed in a cone of height 7 and semi-vertical angle a. शंकु 42८2 - ‏2س‎ + 222 +2xy-3yz+12x-1ly+6z+4 = 0 का शीर्ष ज्ञात कीजिए। Find the vertex of the cone 4x? - {/2 +227 +2xy-3yz+12x-lly+6z+4=0. 324 माना 4 = | 2 0 2 | एक 3 × 3 आन्यूह है। 4 જા अभिलाक्षणिक मान તથા संगत अभिलाक्षणिक सदिश 423 જ્ઞાત कीजिए। अतः &-15 का अभिलाक्षणिक मान તથા संगत अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ 4715 = (4-1)15 है। 324 Let A=|2 0 2] be a 3x3 matrix. Find the eigenvalues and the 423 corresponding eigenvectors of A. Hence find the eigenvalues and the corresponding eigenvectors of 4 15, where Aa = (4115, द्विशः समाकलन का प्रयोग करते हुए हदयाभ (कार्डिऑइड) 7 = all + ‏دم‎ 0} के अन्दर तथा वृत्त 7 = के बाह्य स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। Using double integration, find the area lying inside the cardioid 7 = 6 (1 + ୦୦୫ ®) and outside the circle 7 =a. 15 20 15 20 15 20 15 PHKM-U-MTH/10 3 [ P.T.O. (୬ 5. (a) (b) (9 (0) उस गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो समतल 3 × +2y-2+2=0 જો बिन्दु (1, - 2, 1) पर स्पर्श करता है और गोले x? +8&2 + 22 -4%+6&+4 = 0 को लांबिकतः काटता है। Find the equation of the sphere which touches the plane 3x+2y-z+2=0 at the point (1,-2,1) ஹல்‌ cuts orthogonally the sphere x? +y? + 22 -4x+6y+4 = 0. கற / SECTION—B वक्र-कुल 7 =c(sec 6 + tan 9 के लम्बकोणीय संछेदी ज्ञात कीजिए, जहाँ ८ एक प्राचल ¥ | Find the orthogonal trajectories of the family of curves 7 =c(sec 6 + 1911 9), where c is a parameter. लाप्लास रूपान्तर का प्रयोग करते हुए समाकलन समीकरण y(t) = ୦୦୫ t+ ||, U(x) cos (t- x) dx को हल कीजिए। Solve the integral equation y(t)=cost+ ie y(x) cos (£ ¬ ১) 0% using Laplace transform. किसी समय £ (सेकण्ड में) पर एक चर समांतर-षट्फलक की सहावसानी किनारे सदिर्शो ठ = ८? +(+1))+(21+ 1) हि = 217 + (31 _1)7 +£ Y= i+ 3tj +k द्वारा निरूपित हैं। समांतर-चतुर्भुज, जिसकी सहावसानी किनारे ठ और ૪ हैं, के सदिशीय क्षेत्रफल की परिवर्तन दर क्या है? t=1 सेकण्ड पर समांतर-षट्फलक જે आयतन की परिवर्तन दर भी ज्ञात कीजिए। At any time t (in seconds), the coterminous edges of a variable parallelepiped are represented by the vectors 1(5ا+1)+1(7+)+ 1ء ے 5 £+ } )1 - 31( + 217 = 8 ‎ଡ = ¢ +3/7 + £‏ What is the rate of change of the vectorial area of the parallelogram, whose coterminous edges are & and 7? Also find the rate of change of the volume of the parallelepiped at t =1 second. एक ठोस गोले के ऊपर समान त्रिज्या का एक ठोस गोलार्ध साम्यावस्था में रखा है। दो स्थितियों মঁ-_() অন गोलार्ध का वक्रीय पृष्ठ तथा ‏رم‎ जब गोलार्ध का समतलीय पृष्ठ गोले पर स्थित है, साम्यावस्था का स्थायित्व ज्ञात कीजिए। A solid hemisphere rests in equilibrium on a solid sphere of equal radius. Determine the stability of the equilibrium in the two situations—(i) when the curved surface and (ii) when the flat surface of the hemisphere rests on the sphere. PHKM-U-MTH/10 4 15 10 10 10 10 ટ એં டு माना € एक समतल वक्र 76) = / (68 + ૪) है, जहाँ / और 9 के द्वितीय कोटि જે अवकलज हैं। दर्शाइए कि वक्र के किसी बिन्दु पर वक्रता _ 1/9૪” -૪ /“ | பாள +[90]2)3/2 है। इस वक्र के किसी बिन्दु पर ऐंठन (टॉर्शन) ಇ का मान क्या है? ۴ Let © be a plane curve ۴)) = / (0? + 9001, where f and g have second-order derivatives. Show that the curvature at a point is given by _ |7۰۸ 9“0- ०0 /“(0 | பா *[6'0]3)3/2 K What is the value of torsion t at any point of this curve? 9 (ಗ दर्शाइए कि किसी वक्र के दो क्रमागत बिन्दुओं पर मुख्य अभिलम्ब प्रतिच्छेद नहीं करते जब तक कि ऐंठन (टॉर्शन) ಇ शून्य न हो। Show that the principal normals at two consecutive points of a curve do not intersect unless torsion ಇ is zero. 5 6. (૦) लम्बाई ! की छः हल्की छड़ों द्वारा निर्मित एक सम चतुष्फलक एक चिकने क्षैतिज समतल पर रखा है। ٢ भार तथा 7 त्रिज्या का एक og तिर्यक्‌ भुजाओं द्वारा आलम्बित है। कल्पित कार्य सिद्धान्त का उपयोग करते हुए किसी भी एक क्षैतिज भुजा में प्रतिबल ज्ञात कीजिए। A regular tetrahedron, formed of six light rods, each of length J, rests on a smooth horizontal plane. A ring of weight W and radius r is supported by the slant sides. Using the principle of virtual work, find the stress in any of the horizontal sides. 15. (૭) सरल आवर्त गति में एक कण की दो स्थितियों में वेग ८८ और ४ है तथा दो संगत त्वरण ಗ और fy हैं। £ के ક किस मान/किन मानों के लिए दोनों स्थितियों के बीच की दूरी (४2 - ८2) है? यह भी दर्शाइए कि गति का आयाम চল [(u? - v)(u? ‏وم‎ - !/2 /;2)]!/2 है। A particle executes simple harmonic motion such that in two of its positions, velocities are ம and 2, and the two corresponding accelerations are f, and fp. For what value(s) of k, the distance between the two positions is k(v? - 2)? Show also that the amplitude of the motion is 1 2 2}/1,2 72 2 fe 1/2 == == లక) fg పల) | 12-18 2 15 PHKM-U-MTH/10 5 ೫ಡಿ: (9 (a) (b) (0 ઈ एक हल के रूप में uly) = -৩-* का उपयोग करते हुए अवकल समीकरण xy” + (£-19%- 9 = 0 का दूसरा हल ज्ञात कीजिए। Find the second solution of the differential equation xy” + (× ¬ 1){/ ' ¬ {/ = 0 using 000 = -€ `× as one of the solutions. (1) प्राचल-विचरण विधि का उपयोग कर अवकल समीकरण x2y” - 220/' +2y = 23 sin x का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। Find the general solution ૦ 106 differential equation x?y” - 2:3৬ +2y =x sin x by the method of variation of parameters. आयतीय ક્ષેત્ર R:|x-x9 | < ০, | - /0 | < ® में प्रारम्भिक मान समस्या SY = / (५ છો) ૪/૦) = ‏مل‎ के अद्वितीय हल के अस्तित्व के लिए अद्वितीयता प्रमेय का कथन लिखिए। एक उपयुक्त आयत 2 मे प्रारम्भिक मान समस्या ல = 2/૪૪ ೫0 = के हल के अस्तित्व और अद्वितीयता का परीक्षण कीजिए। यदि एक से अधिक हल मौजूद हैं, तो सभी हलों को ज्ञात कीजिए। State uniqueness theorem for the existence of unique solution of the initial value problem ‏کے‎ = f(x, ৮), ૪/૪0) = ‏مل‎ in the rectangular region R: 12-20 | < ନ, |⁄ ¬ {0 | 8 . Test the existence and uniqueness of the solution of the initial value problem 3४ 240, 90) = 0, in a suitable rectangle R. If more than one solution exist, then find all the solutions. लम्बाई ! की एक हल्की अवितान्य डोरी द्वारा एक नियत बिन्दु से ऊर्ध्वाधर लटका हुआ एक भारी कण प्रारम्भिक वेग ८ के साथ एक वृत्त মী घूमना शुरू करता है ताकि एक അടിയ समतल में एक पूर्ण परिक्रमण कर ‏ا‎ ‎दर्शाइए कि किसी भी व्यास के ਸਿਧੇ पर तनावों का योग अचर है। A heavy particle hanging vertically from a fixed point by a light inextensible string of length / starts to move with initial velocity u in a circle so as to make a complete revolution in a vertical plane. Show that the sum of tensions at the ends of any diameter is constant. स्टोक्स प्रमेय का कथन लिखिए तथा इसको सदिश क्षेत्र F = ‏اہ‎ +yzj+axk के लिए, ಇತ 5 पर जो कि बेलन z=1-x?; 0 < %<], -2 5४52 का उपरिमुखी अभिविन्यस्त भाग है, सत्यापित कीजिए। State Stokes’ theorem and verify it for the vector field £ =xyit+ yzjt+2xk over the surface S, which is the upwardly oriented part of the cylinder z=1-x?, for < x < 1, -2 < { 5 2. PHKM-U-MTH/10 6 10 10 15 15 20 8. (a) ‏مج‎ रूपान्तर का उपयोग करके प्रारम्भिक मान समस्या ‏“ا‎ +2y’+5y =8(t-2), y(0)=0, 2/0) = 0 को हल कीजिए, जहाँ 8((- 2) ‏جج‎ डेल्टा फलन को दर्शाता 31 Using Laplace transform, solve the initial value problem ഴ്‌ +2y’+5y =8(t-2), ૪૦) = 0, 050 where 6-2) denotes the Dirac delta function. 15 (0) गाऊस के अपसरण प्रमेय का उपयोग करते हुए बेलन ± 2 + y? = 16 तथा समतलों 221 और 2 = 5 द्वारा परिबद्ध ક્ષેત્ર पर समाकल fw? + ट} + (> _ 1} 2 ଯୁ . Ads का मान निकालिए। Using Gauss divergence theorem, evaluate the integral [ડિ + ×23 7 + (> _1)2 ଯ . Ads over the region bounded by the cylinder x? + y? =16 and the planes z=1 and z=5. 15 () ८ दूरी से एक कण को समान दूरी पर स्थित एक वृत्त में उसके वेग के बराबर वेग से 45० के कोण पर प्रक्षेपित 2 करने पर वह केन्द्रीय त्वरण ಲ್ಲ) के साथ गति करता है। सिद्ध कीजिए कि बल के केन्द्र तक इसके r r पहुँचने का समय 4-(2-2) है। 2 A particle moves with a central acceleration “> += | being projected from r a distance d at an angle 45° with a velocity equal to that in a circle at the same distance. Prove that the time it takes to reach the centre of force is ക 3 2५ 2 20 kkk PHKM-U-MTH/10 7 2555-1296