QP-CSM-24-MATHEMATICS-PAPER-II-031024

Civil Services (Main) Examination, 2024 PHKM-B-MTH गणित / MATHEMATICS प्रश्नपत्र [1 / Paper 11 निर्धारित समय : तीन घंटे अधिकतम अक 250 Time Allowed : Three Hours Maximum Marks : 250 प्रश्न-पत्र सम्बन्धी विशेष अनुदेश कृपया प्रश्नों के उत्तर देने से पूर्व निम्नलिखित प्रत्येक अनुदेश को ध्यानपूर्वक पढ़ें : इसमें आठ प्रश्‍न हैं जो दो खण्डो में विभाजित हैं तथा हिन्दी और अंग्रेज़ी दोनों में ভ हुए हैं / परीक्षार्थी को कुल पाँच 727 के उत्तर देने हैं / प्रश्‍न सख्या 1 और 5 अनिवार्य हैं तथा बाकी weal में से प्रत्येक खण्ड से ૪૪-૪-૪૪ एक प्रश्‍न चुनकर किन्ही तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए | प्रत्येक 7೫7/7 के अंक उसके सामने दिए गए हैं / weal के उत्तर उसी प्राधिकृत माध्यम में लिखे जाने चाहिए जिसका उल्लेख आपके प्रवेश-पत्र में किया गया है, और इस माध्यम का स्पष्ट उल्लेख 727૪-૪૪-૩૪ (FLAT) पुस्तिका के உண पर निर्दिष्ट स्थान पर किया जाना चाहिए / 777 माध्यम के अतिरिक्त अन्य किसी माध्यम में लिखे गए उत्तर पर कोई अंक नहीं मिलेंगे / यदि आवश्यक हो, तो उपयुक्त அதி का चयन कीजिए तथा उनको निर्दिष्ट कीजिए | जब तक उल्लिखित न हो, संकेत तथा शब्दावली प्रचलित मानक अर्थो में प्रयुक्त हैं / प्रश्नों के उत्तरो की गणना क्रमानुसार की जाएगी | यदि काटा नहीं हो, तो 777 के उत्तर की गणना की जाएगी चाहे वह उत्तर 977 दिया गया हो / प्रस्न-सह-उत्तर (क्यू. सी. ‏۔‎ पुस्तिका में खाली छोड़ा हुआ TS या उसके अंश को स्पष्ट रूप से काटा जाना चाहिए / Question Paper Specific Instructions Please read each of the following instructions carefully before attempting questions : There are EIGHT questions divided in TWO SECTIONS and printed both in HINDI and in ENGLISH. Candidate has to attempt FIVE questions in all. Questions no. 1 and 5 are compulsory and out of the remaining, any THREE are to be attempted choosing at least ONE question from each section. The number of marks carried by a question / part is indicated against it. Answers must be written in the medium authorized in the Admission Certificate which must be stated clearly on the cover of this Question-cum-Answer (QCA) Booklet in the space provided. No marks will be given for answers written in a medium other than the authorized one. Assume suitable data, if considered necessary, and indicate the same clearly. Unless and otherwise indicated, symbols and notations carry their usual standard meanings. Attempts of questions shall be counted in sequential order. Unless struck off, attempt of a question shall be counted even if attempted partly. Any page or portion of the page left blank in the Question-cum-Answer (QCA) Booklet must be clearly struck off. PHKM-B-MTH 1 खण्ड A SECTION A Ql. (a) मान लीजिए कि कोटि mn का एक परिमित समूह G2, जहाँ m और n, (m > 0) अभाज्य संख्याएँ हैं ۱ दर्शाइए कि 0 का कोटि m का अधिक-से-अधिक एक उपसमूह है | Let G be a finite group of order mn, where m and n are prime numbers with m > 0. Show that G has at most one subgroup of order m. 10 യ यदि ૪ = [૪), > का एक विश्लेषिक फलन है, तब दर्शाइए कि 2 2 ಪಾಶ log |୮(୬ | =0 21 If w = f(z) is an analytic function of 2, then show that ப ટુ —z + -- > | log |f’(z)| = 0. 10 72 = 8 | (2) | 2 (c) es dx के अभिसरण का परीक्षण कीजिए | గ চা ত 2 Test the convergence of | ಸ x રે. 10 ਨ (2-20 (0) यदि x તથા ) જે फलन હ ओर y ୩୧୩୪ समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं, તો दर्शाइए कि 2) =p+igq,i= /-1 एक विश्लेषिक फलन है, जहाँ p= ন = ‏گج‎ तथा 7 2005-60-51 1 ox By If 0 and ۷ are functions of x and 7 satisfying Laplace equation, then show that f(z)=p+tiq, i= ‏ھ0‎ 1 is an analytic function, where = 9 _ oy 8 | ০৬ 10 = 0 ৷ ક આ ୩୬୭ By £ PHKM-B-MTH 2 Q2. (e) (a) (b) (c) निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल करने के लिए द्विचरण विधि का उपयोग कीजिए : अधिकतमीकरण कीजिए 2-2] + 285 बशर्ते कि ±¶ -2228 2x1 + ৯9 < 10 ±¶], ੩ > 0 Use two phase method to solve the following linear programming problem : 10 Maximize z= x, + 285 subject to ग] -2228 2x1 + ৯9 < 10 2], ® > 0 कौशी के अभिसरण के व्यापक (जनरल) सिद्धांत का उपयोग करते हुए, अनुक्रम < £„ > के अभिसरण की जाँच कीजिए, जहाँ £, = 1 + 41 ‏ہج وھ‎ 1! 2! n! Using Cauchy’s general principle of convergence, examine the convergence of the sequence < ந, >, where f, = 1 + a + 7 + ... + =, 15 दर्शाइए જિ एक आबेली समूह का प्रत्येक समाकारी प्रतिबिम्ब आबेली है, लेकिन इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है । Show that every homomorphic image of an abelian group is abelian, but the converse is not necessarily true. ৷ 15 वह फलन ज्ञात कीजिए जो कि વૃત્ત ୦ : 2 = «९, 0 < 0 < 20, के अन्दर तथा उसके ऊपर 2 a7 2 : विश्लेषिक है और ୦ की परिधि पर जिसका মাল ४ ® ர்‌ = Bite 809 a* - 287 cos 20 + 1 है, जहाँ 22 > 1 है । Find the function which is analytic inside and on the circle (a? _ 1) cos 0 + 1 (82 +1)sin 0 ‏کو‎ — 282 cos 20 +1 on the circumference of C, where a? > 1. 20 0: ‏و‎ = 69, 0 < ০ < 97 and has the value PHKM-B-MTH 3 Q3. (a) फलन f(z) = ‏اص‎ ଏ BATH तथा उनकी ઘાત (ऑर्डर) का पता ளான | z(sin 72) [र + 3 इन अनंतकों पर (2) के अवशेष भी ज्ञात कीजिए | Locate the poles and their order for the function f(z) = ‏۔ نے‎ . z(sin 72) ¢ + ೩) Also, find the residue of f(z) at these poles. 15 യ श्रेणी ১ Un), 0 < ± < 1 का विचार कीजिए, जिसके पहले 7 पदों का योगफल n=} S,(x) = ಹ (1 + ‏,رفک‎ x € [0, 1] के द्वारा दिया गया है । दर्शाइए कि दी गई श्रेणी n જો पद-दर-पद अवकलित किया जा सकता है, ಶಿ ए, ல, 10, 1] पर एकसमान n=1 अभिसरित नहीं होती है । Consider the series $ `` U,(x), 0 <x < 1, the sum of whose first n terms n=1 is given by S,(x) = ମହ (1 + पथ), ± €[0, 1]. Show that the given n series can be differentiated term-by-term, though $ ¬ 0 (x), does not n=1 converge uniformly on [0, 1]. 20 (6) द्वैत सिद्धांत का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए : न्यूनतमीकरण कीजिए 2 = 4x, 4822 + 25 बशर्ते कि 2] + 222 + 4x3 > 12 8x1 + 282 + x32 8 21, 22, 25 > 0 Using duality principle, solve the following linear programming problem : 15 Minimize z= 4x, + 3x9 + ৯3 subject to x, + 2x9 + 4x, > 12 921 + 2X9 + ৯3 > ৪ 21, ‏روڈ‎ ৯3 > 0 PHKM-B-MTH 4 (b) (০) पूर्णांकों के वलय 7 पर எனக वलय 200 का विचार कीजिए | मान लीजिए ৯ द्वारा जनित 2 की एक गुणजावली 8 है | दर्शाइए कि 5, 700 की एक अभाज्य गुणजावली है लेकिन उच्चिष्ठ गुणजावली नहीं है । Consider the polynomial ring Z[x] over the ring Z of integers. Let S be an ideal of Z[x] generated by x. Show that S is prime but not a maximal ideal of Z[x]. 15 [0, 1] पर परिभाषित निम्नलिखित फलन £ के लिए उपरि तथा निम्न रीमान समाकल ज्ञात कीजिए : (1 - ±2)1/2, यदि ± परिमेय है | f(x) = (1 - ୬), यदि x अपरिमेय है | अत: दर्शाइए कि [0, 1] पर £ रीमान समाकलनीय नहीं है | Find the upper and lower Riemann integrals for the function f defined on [0, 1] as follows : (1 - ±2)1/2, ifx is rational. પ) = (1 - x), if x is irrational. Hence, shew that [15 not Riemann integrable on [0, 1]. 15 एक कंपनी का कार्मिक प्रबंधक, अधिकारियों ^, ৪ और ¢ को क्षेत्रीय कार्यालयों दिल्ली, मुंबई, कोलकाता और चेन्नई में नियुक्त करना चाहता है । चार क्षेत्रीय कार्यालयों में इन तीन अधिकारियों के स्थानांतरण की लागत (हजार रुपयों में) नीचे दी गई है : कार्यालय अधिकारी | दिल्ली मुंबई कोलकाता चेन्नई A 16 22 24 | 20 | | B | 10 32 26 16 0 10 | 20 | 46 30 ae नियतन (असाइनमेन्ट) ज्ञात कीजिए, जो स्थानांतरण की कुल लागत को न्यूनतम करता है और न्यूनतम लागत भी निर्धारित कीजिए | PHKM-B-MTH 5 The personnel manager of a company wants to assign officers A, B and C to the regional offices at Delhi, Mumbai, Kolkata and Chennai. The cost of relocation (in thousand Rupees) of the three officers at the four regional offices are given below : Office Officer Delhi Mumbai | Kolkata | Chennai A 16 22 24 20 वि ਕੈ 10 32 26 16 ୦ 10 20 46 80 Find the assignment which minimizes the total cost of relocation and also determine the minimum cost. 20 PHKM-B-MTH 6 Q5. (a) (b) (૦) (ત) खण्ड 3 SECTION 3 anise कि यदि ୮ और € उनके संबंधित स्वतंत्र ‏٭‎ के स्वेच्छ फलन हैं, तब 11 = f(x = kt + iay) + g(x - kt - 1009), 220 Fi 620 _ 1. 620 ഓ ळर 02 at?” 2 जहाँ 02 = 1 _ ੭ है, © का एक हल है | Show that if f and g are arbitrary functions of their respective arguments, then प = f(x — kt + iay) + g(x - kt - iay), is a solution of ಠಿ 2 2 6 2 2 రై = § + ৰ নু = =", where 02 = 1 = 2 ox oy ‏ا‎ at 0 गाउस-जॉर्डन विधि द्वारा निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय જો हल कीजिए : 2x+3y-—z=5 4x + 47-૭2 = 3 2৯ - 3) + 22 = 2 Solve the following system of linear equations by Gauss-Jordan method: 70 10 2x+3y-z=5 4x+ 47 - 32 = 3 2x - 3) + 22 = 2 6) (80)16 और (FF), 6 के सचिह् परिमाण रूप में दशमलव समतुल्य ज्ञात कीजिए ۱ 01) (982.14)16 का दशमलव समतुल्य ज्ञात कीजिए ١ (i) Determine the decimal equivalent in sign magnitude form of (ii) | Determine the decimal equivalent of (982.14)16. 10 द्रव्यमान m तथा लम्बाई 28 का एक खुरदुरा एकसमान बोर्ड एक चिकने क्षैतिज तल पर रखा है और M द्रव्यमान का एक व्यक्ति उस पर एक छोर से दूसरे छोर तक चलता है | इस दौरान बोर्ड द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए | A rough uniform board of mass m and length 2a rests on a smooth horizontal plane and a man of mass M walks on it from one end to the other. Find the distance covered by the board during this time. 10 PHKM-B-MTH 7 Q6. (e) (a) (b) एक प्रवाह का वेग विभव ৫, 0= > + ઝરે - 222) के द्वारा दिया गया है ۱ धारा रेखाएँ ज्ञात कीजिए | The velocity potential 0 ग a flow is given by ¢ = ‏تا‎ + $2 _ 222), Determine the streamlines. 10 दर्शाइए कि द्विविम लाप्लास समीकरण 6 _ ०20५5) _ + = ax? ay” का हल, परिसीमा प्रतिबन्ध (x, 0) = f(x), x € (- =, =) के अधीन तथा 60, $) > 0 0, ×6 (¬ ੦, ୧୧), 7 > 0 जब |x| -> ੦ और y -> =, ০০ (ದಿ dé (x, | कि ঁ- = ox, y ન ક के रूप में लिखा जा सकता है | Show that the solution of the two-dimensional Laplace’s equation 2206, , ০%(%, 3) ax” ay? subject to the boundary condition o(x, 0) = f(x), x = (— =, >), along with $(x, y) > 0 for |x| -> ૦૦ and y > ০০ can be written in the form = 0, xe (- ੦, =), y>0 ੦੦ y नि) dé ‏مہہ‎ = ~ ¬ ൦ 20 (x, 7 छ | १1 बूलीय ண்க ४ = ABC + BC + AB જે लिए तर्कसंगत परिपथ (लॉजिकल सर्किट) खींचिए | तीन निवेश ‏نج‎ अनुक्रमों A=10001111, B=00111100, C=11000100 के लिए निर्गत ૪ (सत्यमान सारणी) भी प्राप्त कीजिए । Draw the logical circuit for the Boolean expression Y = ABC + BC + AB Also, obtain the output Y (truth table) for the three input bit sequences : A=10001111, B=00111100, C=11000100 15 PHKM-B-MTH 8 ૦7. (૦) (a) (b) 2: 2 दीर्घवृत्तीय डिस्क Ss 7 पड = 1, के एक चतुर्थाश, जिसका द्रव्यमान M है, का उसके तल a के ண்ண तथा उसके केन्द्र से गुज़रने वाली रेखा के सापेक्ष, जडत्व आघूर्णं ज्ञात कीजिए | दिया गया है कि किसी भी बिन्दु पर घनत्व » के समानुपाती है । Find the moment of inertia of a quadrant of an elliptic disk 2 2 = + ‏کم‎ 1, of mass M about the line passing through its centre and 82 2 perpendicular to its plane. Given that the density at any point is proportional to xy. 36 निम्नलिखित रैखिक-कल्प समीकरण 6 6 0-೪೫ +($-৯) 2} =x-y, Ox oy का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए, जो कि वक्र ¢ = 0, 27 = 1 और वृत्त ± + # + ¢ = 0, আঠ + રે + $2 = 82 से होकर गुज़रता है | Find the integral surface of the following quasi-linear equation 009 ‏0ص‎ ‎(7-6) ಕ್‌ x) ay ‏رہ‎ which passes through the curve $ = 0, xy = 1 and through the circle X+y+O=0, ±2 + 72 + 02 = 82. 15 6) चौडाई ॥ - 1 के साथ सिम्प्सन के न नियम, और യ चौडाई 0 = 1 के साथ समलंबी ளை) नियम का उपयोग करके f(x) = 529 - ॐ + 22 + 1 का २ = - 2 से ઝ = 4 तक समाकलन कीजिए | Integrate f(x) = 523 - 30 + 2౫+ 1 from ® = _ 2 to x=4 using (1) Simpson’s : rule with width h = 1, and Gi) Trapezoidal rule with width h = 1. 15 PHKM-B-MTH 9 (c) ९8. (a) (b) मान लीजिए कि वेग क्षेत्र நடி? ‏و‎ ೫೨) 2)2 ‏و‎ 28×7 v(x, 7) = ಸ್ವಃ? u(x, ೫) = De w(x, ੭) = 0, (xt 4 ¥ जहाँ 8 एक अचर है, अश्यान असंपीड्य प्रवाह के लिए गति समीकरणों को संतुष्ट करता है । इस वेग क्षेत्र से सहचारी (एसोसिएटेड) दाब का निर्धारण कीजिए | Let the velocity field + 95)... :.. 2Bxy u(x, y) = ‏.کے گج‎ v(x, y) = ౧) w(x, $) = 0 ‏تی‎ + )2)2 (x2 ‏2ر2‎ y satisfy the equations of motion for inviscid incompressible flow, where B is a constant. Determine the pressure associated with this velocity field. 20 आंशिक अवकल समीकरण 90 ‏0ہو‎ ‎©: _ = ay (2 + ગો (2 re को विहित रूप में रूपांतरित करके हल कीजिए | Solve the partial differential equation (2 +] + 2x? | ¢ +} = ox x by transforming it to the canonical form. 15 अंतर्वेशन के लिए न्यूटन के अग्रांतर सूत्र का उपयोग करके निम्नलिखित आँकड़ों से 2-5) के मान का आकलन कीजिए : x: 1 2 3 4 5 6 fx): 0 1 8 27 64 125 Using Newton’s forward difference formula for interpolation, estimate the value of [2-5) from the following data 15 x: 1 2 3 4 5 6 fix): 0 1 8 27 64 125 PHKM-B-MTH 10 (c) मान लीजिए कि एक अनंत द्रव में दो समानांतर, समान तथा विपरीत सरलरेखीय भ्रमिल 2a की दूरी पर हैं | दर्शाइए कि भ्रमिल के सापेक्ष धारा रेखाएँ समीकरण log క (అ +> = 0 আঠে ടമ്മ 8 द्वारा दी गई हैं, जहाँ 0 एक अचर है, मूल-बिंदु जुड़ाव का मध्य बिंदु है, और भ्रमिलों को जोड़ने वाली रेखा $ का अक्ष है | Suppose an infinite liquid contains two parallel, equal and opposite rectilinear vortices at a distance 2a. Show that the streamlines relative to the vortex are given by the equation 2 ‏چا‎ ‎log সি +2. =©, 2“ +(y +a) a where C is a constant, the origin is the middle point of the join, and the line joining the vortices is the axis of y. PHKM-B-MTH 11 20