QP-CSM-26-010926-Optional-STATISTICS-PAPER I

Civil Services (Main) Examination, 2026 KVMS-P-STS सांख्यिकी (प्रश्न-पत्र-1) निर्धारित समय : तीन घण्टे अधिकतम अंक : 250 प्रश्न-पत्र संबंधी विशेष अनुदेश (उत्तर देने के पूर्व निम्नलिखित निर्देशों को कृपया सावधानीपूर्वक पढ़िए) इसमें आठ प्रश्न हैं, जो दो खण्डों में विभाजित हैं तथा हिन्दी और अंग्रेजी दोनों में छपे हुए हैं। परीक्षार्थी को कुल पाँच प्रश्नों के उत्तर देने हैं। प्रश्न संख्या 1 और 5 अनिवार्य हैं तथा बाकी प्रश्नों में से प्रत्येक खण्ड से कम-से-कम एक प्रश्न चुनकर तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए। प्रत्येक प्रश्न/भाग के लिए नियत अंक उसके सामने दिए गए हैं। प्रश्नों के उत्तर उसी प्राधिकृत माध्यम में लिखे जाने चाहिए, जिसका उल्लेख आपके प्रवेश-पत्र में किया गया है, और इस माध्यम का स्पष्ट उल्लेख प्रश्न-सह-उत्तर (Ho ఈం vo) पुस्तिका के मुखपृष्ठ पर निर्दिष्ट स्थान पर किया जाना चाहिए। प्राधिकृत माध्यम के अतिरिक्त अन्य किसी माध्यम में लिखे गए उत्तर पर कोई अंक नहीं मिलेंगे। यदि आवश्यक हो, तो उपयुक्त ತತಾ! का चयन कीजिए, तथा उनको स्पष्टतया निर्दिष्ट कीजिए। जब तक उल्लिखित न हो, संकेत तथा शब्दावली प्रचलित मानक અર્થો મેં प्रयुक्त हैं। प्रश्नों के प्रयासों की गणना क्रमानुसार की जाएगी। आंशिक रूप से दिए गए प्रश्नों के उत्तर જો भी मान्यता दी जाएगी यदि उसे काटा ন गया हो। प्रश्‍न-सह-उत्तर पुस्तिका में खाली छोड़े गए कोई पृष्ठ अथवा पृष्ठ के भाग को पूर्णतः काट दीजिए। STATISTICS (PAPER-I) Time Allowed : Three Hours Maximum Marks : 250 QUESTION PAPER SPECIFIC INSTRUCTIONS (Please read each of the following instructions carefully before attempting questions) There are EIGHT questions divided in two Sections and printed both in HINDI and in ENGLISH. Candidate has to attempt FIVE questions in all. Question Nos. 1 and 5 are compulsory and out of the remaining, THREE are to be attempted choosing at least ONE question from each Section. The number of marks carried by a question/part is indicated against it. Answers must be written in the medium authorized in the Admission Certificate which must be stated clearly on the cover of this Question-cum-Answer (QCA) Booklet in the space provided. No marks will be given for answers written in a medium other than the authorized one. Assume suitable data, if considered necessary, and indicate the same clearly. Unless and otherwise indicated, symbols and notations carry their usual standard meanings. Attempts of questions shall be counted in sequential order. Unless struck off, attempt of a question shall be counted even if attempted partly. Any page or portion of the page left blank in the Question-cum-Answer Booklet must be clearly struck off. KVMS-P-STS/21 1 [ P.T.O. खण्ड--& / SECTION—A 1. ( ‏قش‎ 7 घटनाओं 4), Ao, `, A, के लिए दिखाइये कि न ^| > ॐ 7(%%)- (8-1) i=1 i=1 Show that for n events ಗೈ, 42, ©, An [ടക i=1 i=l 7 8) दो परस्पर अपवर्जित घटनाओं 4 तथा 5 के लिए दिखाइये कि P(A) P(A|Av 5) = ————-; P{A), 2૭) <0 (Al ) লাকা (B) For two mutually exclusive events A and B, show that P(A|AU 8) = ಯಿ _ pray, 28) > 0 P(A) + P(B) 3 (0) माना 2 तथा का संयुक्त प्रायिकता द्रव्यमान फलन है 2 ೫% ४ = > ao, × = 0, 1, 2; y=1,2,3,4 80 ज्ञात कीजिये-- ( ॐ तथा ४ के सीमान्त प्रायिकता द्रव्यमान फलन; (i) P(X <1, 7 >2). Let the joint probability mass function of X and Y be x? +2y 10০ 25 › × = 0, 1, 2; y=1, 2, 3, 4 80 Find— (0 the marginal probability mass functions of X and Y; (i) P(X <1, Y>2). 6+4=10 KVMS-P-STS/21 2 (c) एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व फलन है € 2८ હોહા? 2 0 जहाँ 7. एक धनात्मक पूर्णांक है। चेबीशेव असमिका જા उपयोग करते हुए दिखाइये कि நற < × ८20,41]--- A+1 A random variable X has the probability density function ऋ Al 7)0 = $ ॐ >0 where A is a positive integer. Using Chebyshev’s inequality, show that ۶۴ < £ 20.1] > _ ^ _ 2۸+1 10 (9) (¢ राव-ब्लैकवेल प्रमेय की सहायता से कैसे एकसमान न्यूनतम प्रसरण अनभिनत आकलक (UMVUE) ज्ञात करते हैं, वर्णन कीजिये। Describe how Rao-Blackwell theorem enables one to find the UMVUE. 5 (ii) माना ಬೃ 2), ---, ॐ» एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जो एक समष्टि, जिसका प्रायिकता घनत्व फलन ) 1, 22 n दु (p.d.f.) f(x, 9) = 6×° 1; 0 < % < 1, 620 1 है, से लिया गया £ | दिखाइये कि ] [20 9 का पर्याप्त प्रतिदर्शज ই। 121 Let X,, 22, ` X, be a random sample from a population with p.d.f. f(x, 9-9: 1; 0 < × < 1, 6>0 n Show that []X; is sufficient statistic of 9. i=l 5 (০) PO) से आमाप 7 का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श लेते हुए Hy : 6 < 60 विरुद्ध छ] : 6 > 60 के परीक्षण के लिए संभाव्यता अनुपात परीक्षण (LRT) ज्ञात कीजिये। Obtain the likelihood ratio test (LRT) for testing 770 : 6 < 90 against 771 : 6 > 60, using a random sample of size n taken from 12(9). 10 KVMS-P-STS/21 3 ೫1.೧, 2. (a) ( एक यादृच्छिक चर 2, जिसका प्रायिकता घनत्व फलन (0.0.7) x , 021 f(x) = 4 2 - 18022 0 , अन्यथा है, का आघूर्ण जनक फलन (m.g.f.) ज्ञात कीजिये। इस आघूर्ण जनक फलन (m.g.f.) से 2(2) तथा V(X) ज्ञात ۱ Find the moment generating function (m.g.f.) of a random variable X with probability density function (p.d.f.) x ୫୪ 9352 ೫00 =}2-x, 1262 0 , otherwise Using this m.g.f., find E(X) and V(X). 10 8 माना oxy (= 6/2 एक यादृच्छिक चर 2 का अभिलक्षण फलन है। प्रतिलोमन सूत्र का उपयोग करते हुए 2 का प्रायिकता घनत्व फलन ज्ञात कीजिये। 2 Let ‏پر(‎ (ઈ = € /? be the characteristic function of a random variable X. Using the inversion formula, find the probability density function of X. 10 2 டு एक कार की मरम्मत एक गैराज में कराने पर लगने वाला समय, घंटों में, एक यादृच्छिक चर 2 है, जिसका प्रायिकता घनत्व फलन (0.6.೯) है 79-૦૧૩-૩૨), 0 < × < 4, ८ एक स्थिरांक है ८ का मान निकालिये। इन घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि एक कार, जो गैराज में अब आती है, उसके लिए-- (1) 2 का मान कम-से-कम एक है परन्तु तीन से कम है; (മ) ± का मान दो से अधिक है। The time required, in hours, to repair a car at a garage is a random variable X with probability density function (p.d.f.) 709 = 6(42൦- 22), 0 < × < 4, c is a constant Find the value of ૮. Obtain the probabilities that for a car which arrives now at the garage— (1) X is at least one but less than three; (2) X is more than two. 9 KVMS-P-STS/21 4 (i) माना 100 - 32 - 5; 0 < ×<2 एक सतत यादृच्छिक चर 2 का प्रायिकता घनत्व फलन £ | X का संचयी बंटन फलन लिखिये तथा ಇ <X< 3) 2 2 ज्ञात कीजिये। Let 79-32-૩ 02022 be the probability density function of a continuous random variable X. Write the cumulative distribution function of X and find [> <| 2 2 ര (ઈ माना एकसमान ఇలా का (0, 1) में अनुसरण करता है તથા माना ৮ = -10&.(1- 70. का aa ज्ञात कीजिये। Let X follow uniform distribution on (0, 1) and let Y = —log, (1 ¬ 2). Find the distribution of Y. 5 (ii) माना 2], Xo, - स्वतन्त्र यादृच्छिक चरं का एक अनुक्रम इस प्रकार है कि PIX, = 2] = तथा P[X, = 0] = 1-4, £ =1, 2, ... 1 7? परीक्षण कीजिये कि इस श्रृंखला के लिए वृहत्‌ संख्याओं का निर्बल नियम (WLLN) का अनुसरण होता है या नहीं। Let >], Xo, --- be a sequence of independent random variables such that P[X, = ମ = 1 and P[X, =0] = 1-7; £ = 1, 2, ... n n Check whether the weak law of large numbers (WLLN) holds for this sequence or not. 5 (1) एक उत्पादक वस्तुओं का उत्पाद करता है, जिनका माध्य भार 100 & तथा प्रसरण 1682 है। 64 वस्तुओं के प्रतिदर्श के लिए केन्द्रीय सीमा प्रमेय (CLT) का प्रयोग करते हुए 269 < ೫ < 101) ज्ञात कीजिये। ૪, 64 वस्तुओं का प्रतिदर्श माध्य है। A manufacturer produces items with mean weight 100 g and variance 16 pty For a sample of 64 items, find 799 < X< 101), using central limit theorem (CLT). X is the sample mean of 64 items. 5 KVMS-P-STS/21 5 [ P.T.O. AREAS UNDER STANDARD NORMAL PROBABILITY CURVE Normal probability curve is given by =< 20 < =- یج ا نے 700 and standard normal probability curve is given by 1 1 X= X=. (2) जद) -०<2<० 00 ਇਆ where 2 કની = + -& _ NO, 1) ox ౮ The following table gives the shaded area in the diagram, viz., 20 < Z < 2, 2 > 0, for different values of 2 : | ~< | | ००५ | 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 | ००७ | 0.07 0.08 | ००१ | © © © © © ६० তে তে ६० © ੧੭ ।୦ 1৩ 1৩ १9 १७ १७ १७ १७ ‏وخ‎ চ ~ (= ~ ~ ~ ~ ‏ا © © © © © © © © .== ~ ہر‎ ८९ <ଏ @` ଧୀ % ६० ୪୦ ~© € © ଏ @ ୦ + ‏ما © ~ اث‎ ~© +~ ८ ~© © © ଏ ‏مج‎ +~ ८ ୪୦ ০=5 0.0000 | 0.0040 | 0.0080 | 0.0120 | 0.0160 | 0.0199 | 0.0239 | 0.0279 | 0.0319 | 0.0359 0.0398 | 0.0438 | 0.0478 | 0.0517 | 0.0557 | 0.0596 | 0.0636 | 0.0675 | 0.0714 | 0.0753 0.0793 | 0.0832 | 0.0871 | 0.0910 | 0.0948 | 0.0987 | 0.1026 | 0.1064 | 0.1103 | 0.1141 0.1179 | 0.1217 | 0.1255 | 0.1293 | 0.1331 | 0.1368 | 0.1406 | 0.1443 | 0.1480 | 0.1517 0.1554 | 0.1591 | 0.1628 | 0.1664 | 0.1700 | 0.1736 | 0.1772 | 0.1808 | 0.1844 | 0.1879 0.1915 | 0.1950 | 0.1985 | 0.2019 | 0.2054 | 0.2088 | 0.2123 | 0.2157 | 0.2190 | 0.2224 0.2257 | 0.2291 | 0.2324 | 0.2357 | 0.2389 | 0.2422 | 0.2454 | 0.2486 | 0.2517 | 0.2549 0.2580 | 0.2611 | 0.2642 | 0.2673 | 0.2704 | 0.2734 | 0.2764 | 0.2794 | 0.2823 | 0.2852 0.2881 | 0.2910 | 0.2939 | 0.2967 | 0.2995 | 0.3023 | 0.3051 | 0.3078 | 0.3106 | 0.3133 0.3159 | 0.3186 | 0.3212 | 0.3238 | 0.3264 | 0.3289 | 0.3315 | 0.3340 | 0.3365 | 0.3389 0.3413 | 0.3438 | 0.3461 | 0.3485 | 0.3508 | 0.3531 | 0.3554 | 0.3577 | 0.3599 | 0.3621 0.3643 | 0.3665 | 0.3686 | 0.3708 | 0.3729 | 0.3749 | 0.3770 | 0.3790 | 0.3810 | 0.3830 0.3849 | 0.3869 | 0.3888 | 0.3907 | 0.3925 | 0.3944 | 0.3962 | 0.3980 | 0.3997 | 0.4015 0.4032 | 0.4049 | 0.4066 | 0.4082 | 0.4099 | 0.4115 | 0.4131 | 0.4147 | 0.4162 | 0.4177 0.4192 | 0.4207 | 0.4222 | 0.4236 | 0.4251 | 0.4265 | 0.4279 | 0.4292 | 0.4306 | 0.4319 0.4332 | 0.4345 | 0.4357 | 0.4370 | 0.4382 | 0.4394 | 0.4406 | 0.4418 | 0.4429 | 0.4441 0.4452 | 0.4463 | 0.4474 | 0.4484 | 0.4495 | 0.4505 | 0.4515 | 0.4525 | 0.4535 | 0.4545 0.4554 | 0.4564 | 0.4573 | 0.4582 | 0.4591 | 0.4599 | 0.4608 | 0.4616 | 0.4625 | 0.4633 0.4641 | 0.4649 | 0.4656 | 0.4664 | 0.4671 | 0.4678 | 0.4686 | 0.4693 | 0.4699 | 0.4706 0.4713 | 0.4719 | 0.4726 | 0.4732 | 0.4738 | 0.4744 | 0.4750 | 0.4756 | 0.4761 | 0.4767 0.4772 | 0.4778 | 0.4783 | 0.4788 | 0.4793 | 0.4798 | 0.4803 | 0.4808 | 0.4812 | 0.4817 0.4821 | 0.4826 | 0.4830 | 0.4834 | 0.4838 | 0.4842 | 0.4846 | 0.4850 | 0.4854 | 0.4857 0.4861 | 0.4864 | 0.4868 | 0.4871 | 0.4875 | 0.4878 | 0.4881 | 0.4884 | 0.4887 | 0.4890 0.4893 | 0.4896 | 0.4898 | 0.4901 | 0.4904 | 0.4906 | 0.4909 | 0.4911 | 0.4913 | 0.4916 0.4918 | 0.4920 | 0.4922 | 0.4925 | 0.4927 | 0.4929 | 0.4931 | 0.4932 | 0.4934 | 0.4936 0.4938 | 0.4940 | 0.4941 | 0.4943 | 0.4945 | 0.4946 | 0.4948 | 0.4949 | 0.4951 | 0.4952 0.4953 | 0.4955 | 0.4956 | 0.4957 | 0.4959 | 0.4960 | 0.4961 | 0.4962 | 0.4963 | 0.4964 0.4965 | 0.4966 | 0.4967 | 0.4968 | 0.4969 | 0.4970 | 0.4971 | 0.4972 | 0.4973 | 0.4974 0.4974 | 0.4975 | 0.4976 | 0.4977 | 0.4977 | 0.4978 | 0.4979 | 0.4979 | 0.4980 | 0.4981 0.4981 | 0.4982 | 0.4982 | 0.4983 | 0.4984 | 0.4984 | 0.4985 | 0.4985 | 0.4986 | 0.4986 0.4987 | 0.4987 | 0.4987 | 0.4988 | 0.4988 | 0.4989 | 0.4989 | 0.4989 | 0.4990 | 0.4990 0.4990 | 0.4991 | 0.4991 | 0.4991 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4993 | 0.4993 0.4993 | 0.4993 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4995 | 0.4995 | 0.4995 0.4995 | 0.4995 | 0.4995 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4997 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4998 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 0.4998 | 0.4998 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 KVMS-P-STS/21 6 3. (a) धि माना x2 027 ந } O<x<1,0<y<2 ਨ તથા ८ का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन ‏۱غ‎ ज्ञात कीजिये-- 8 2 तथा ¥ के सीमान्त प्रायिकता घनत्व फलन; ‎೫00 तथा V(X);‏ رم ‎(1) க तथा 70); ‎(iv) ॐ तथा ए के मध्य सहप्रसरण; ‎(0) > तथा के मध्य सहसम्बन्ध गुणांक। ‎Let the joint probability density function of X and Y be ‎7(% ‏۔و‎ vee 02021, 0 <! 22 Find— (0 the marginal probability density functions of X and ४; (i) E(X) and V(X); (iii) ೫07 and 707); (10) covariance between X and Y; ‎(v) correlation coefficient between X and Y. 20 ‎बैटरियों के दो ब्रांड के जीवन-समय, घंटों में, नीचे दिये गये हैं : ‎ब्राड : 40 30 40 45 55 30 ‎7756౮ : 50 50 45 55 60 40 ‎(9 कोल्मोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण તથા (1) माध्यिका (मीडियन) परीक्षण का उपयोग करते हुए परीक्षण कीजिये कि क्या माध्य जीवन-समय के सापेक्ष ये दो ब्रांड भिन्न हैं। ‎4 ‎[2൭ 6, 0-05 "$] ‎KVMS-P-STS/21 ( [ P.T.O. The lifetimes, in hours, of two brands of batteries are given below : Brand & : 40 30 40 45 55 30 Brand B : 50 50 45 55 60 40 Examine whether the two brands are different with respect to average life using (i) Kolmogorov-Smirnov test and (ii) median test. 4 D 05 == | 6.008 8+7=15 (८ सिद्ध कीजिये कि एक-प्राचल चरघातांकी बंटन-समूह के लिए हमेशा एक पर्याप्त प्रतिदर्शन का अस्तित्व रहता है। इसके उपयोग से यह feared कि प्वासों प्रतिरूप જે प्राचल के लिए प्रतिदर्श योग पर्याप्त प्रतिदर्शज है। यह মী बताइये कि વચા यह आकलक पूर्ण है। Prove that there always exists a sufficient statistic for the one-parameter exponential family of distributions. Using it, show that sample total is sufficient statistic for the parameter for the Poisson model. State whether this estimator is complete. 15 4. (a) माना 20, 27, `, X, स्वतन्त्र एवं समान बंटित பயல்‌) यादृच्छिक चर हैं, जो 1400 ૦?) का अनुसरण करते ‏۱ج‎ ୦ 2 का अधिकतम संभाविता आकलक ज्ञात कीजिये तथा परीक्षण कीजिये कि यह अनभिनत है या नहीं। यदि यह अभिनत है, તો ০2 के लिए अनभिनत आकलक प्रस्तावित कीजिये तथा इसकी संगतता का परीक्षण कीजिये। आकलकों की વર્ષ माध्य ‏عو‎ की तुलना भी कीजिये। Let 20, 202, --., X, be iid. random variables following N(u, ൦2). Find the 2 and examine whether the same is 2 maximum likelihood estimator for o unbiased. If biased, suggest an unbiased estimator for ೮% and examine whether it is consistent. Also compare the mean squared errors of the estimators. 20 2) ` £ সামাদ का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श 1४6, ૦?) से लिया जाता है। माना 6 का પૂર્વ बंटन N(u, 2) है, जहाँ 6“, ६ एवं ୮2 ज्ञात 8۱ 6 का ब्येज़ आकलक (i) त्रुटि वर्ग हानि फलन तथा ‏رم‎ परम (absolute) ત્રુટિ हानि फलन के अन्तर्गत ज्ञात कीजिये। A random sample of size nis drawn from N(6, ൦2). Let the prior distribution ೦86 be N(u, 7२}, where ൦2, 1! and 72 are known. Obtain the Bayes estimator for 6 under (i) squared error loss function and (ii) absolute error loss function. 15 (८) क्रमबद्ध प्रायिकता अनुपात परीक्षण (SPRT) का वर्णन कीजिये। प्वासों (9) से लिये गये यादृच्छिक ‏چو‎ से 140:6 = 60 विरुद्ध Hy: 6 = 61 के परीक्षण के लिए SPRT ज्ञात कीजिये। इस परीक्षण के लिये प्रचालन अभिलक्षण फलन (OC function) भी ज्ञात कीजिये। Describe sequential probability ratio test (SPRT). Find the SPRT for testing 770 : 6 = 60 against H,: 6 = 61, using random observations from Poisson (0). Also find the OC function for the test. 15 KVMS-P-STS/21 8 5. (a) (৮) (০ (0) (6) खण्ड--8 / SECTION—B মানা शु, Yo, ---, Y, एक समष्टि, जिसका माध्य | તથા प्रसरण 62 है, से 7 स्वतन्त्र प्रेक्षण 8 सर्वोत्तम रेखीय अनभिनत आकलक तथा ७” का द्विघातीय अनभिनत आकलक ज्ञात कीजिये। Let शु, Yo, ***, Y, be n independent observations from a population with mean ધ and variance 62. Obtain the best linear unbiased estimator of 11 and an unbiased quadratic estimator for ൦2. विविक्तकर विश्लेषण में वर्गीकरण समस्या को समझाइये। दो ज्ञात बहुचर प्रसामान्य समष्टियो के लिए फिशर के विविक्तकर फलन को परिभाषित कीजिये तथा नीचे दिये गये आँकड़ों के लिए इसकी गणना कीजिये : 24 18 9 -5 0) = (3. [18] तथा ₹” = छ (১১) “ (10) 2-5 8 Explain the problem of classification in discriminant analysis. In case of two known multivariate normal populations, define Fisher’s discriminant function and calculate it for the data given below : 24 18 9 -5 0) _ (2 = = 0104 8) गाँस-मार्कोव रेखीय प्रतिरूप ૪ = £ (+ ఇ की 7) - 20 तथा ೧00) -૪ के प्रसरण एवं nxl ഗ്മ £×1 0൮ सह-प्रसरण आव्यूह = ० 2 7 के साथ विवेचना करते हुए दिखाइये कि ‏)۶ئ ط‎ - X(X’X) 1X} ¥] = ୦୨2(୩ ¬ ‏ور‎ ‎Discussing Gauss-Markov linear model Y = X | + પ with (¥) ടാന്‍ 7 ×] ମ × 2 2 ×1 7౫1 and D(¥) = variance and covariance matrix of ૪ = ୦ 2 7, show that 81911-7907೫1 Y]=07(n-p पुनःस्थापनरहित सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श (SRSWOR) के प्रतिदर्श माध्य के प्रसरण को व्युत्पन्न कीजिये। Derive the variance of the sample mean under simple random sample without replacement (SRSWOR). एक समष्टि तीन स्तरों में विभाजित की जाती है। समष्टि से निम्नलिखित आँकड़े लिये गये हैं : स्तर Ny, 52 ಲ್ಕ h 1 200 25 4 2 300 36 9 3 500 49 16 (9 आनुपातिक नियतन तथा (1) इष्टतम नियतन के अन्तर्गत प्रत्येक स्तर के लिए प्रतिदर्श आमाप ज्ञात कीजिये, जबकि कुल प्रतिदर्श आमाप 100 है। 10 10 10 10 KVMS-P-STS/21 9 | ೫.1.0. A population is divided into three strata. The following data are taken from the population : Stratum N, s? Ch h 1 200 25 4 2 300 36 9 3 500 49 16 Determine the sample size for each stratum for a total sample of size 100 under (i) proportional allocation and (ii) optimum allocation. 6. (a) माना 1, प्राचलो 0], 2, ---, ‏ہق‎ का कोई आकलनीय रैखिक फलन ® | तब सिद्ध कीजिये कि-- ദ यादृच्छिक ‏٭‎ ४], ৮2, -. ಗ. का एक एकल रेखीय फलन ८ ४ का मान अस्तित्व में इस प्रकार है कि © € V(A’) તથા 2 (୧' ४) = ۷۵ जहाँ (4, A’ की पंक्ति सदिशों द्वारा जनित सदिश समष्टि ই तथा छ (૪) = AB; (1) ૦7 का प्रसरण किसी अन्य रेखीय अनभिनत आकलक के प्रसरण से कम है। Let 10 be any estimable linear function of parameters ‏رم‎ Bo, ட 0 2 - Then prove that— (i) there exists a unique linear function e’Y of random variables शु, Yo, --., ¥ such that © € V(A’) and E (০/ ¥) = ۷۵, where V(A’) is the vector space generated by row vectors of A’ and E(Y) = AB; (ii) variance of €“ ¥ is less than the variance of any other linear unbiased estimator. (৮) মানা X,,Xo,--, Ky, 501, ೫) से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श ই। दिखाइये कि 770 : ५ = ५0 विरुद्ध Hy: 1) 0 के परीक्षण के लिए होटलिंग का 7” -प्रतिदर्शन 770 : ॥ = 1५0 विरुद्ध 11: ५ ಟ್ಟು ۲ के लिए ‏جج‎ (-प्रतिदर्शन का सामान्यीकरण है। 770 : ॥ = ಗ್ರ के परीक्षण के लिए 7” -प्रतिदर्शज की गणना नीचे दिये गये एक द्विचरीय प्रसामान्य बंटन से लिये गये आँकड़ों के आधार पर कीजिये : 6 9 =| 10 6 8 3 KVMS-P-STS/21 10 10 20 Let X,, Xo, Xy be arandom sample from N,,(u, 2). Show that Hotelling’s T?-statistic for testing 770 : = மடி against 771 : 14 மடி is a generalization of t-statistic for testing 770 :॥ = மடி against 771 : மச மடி in the univariate case. 9 Calculate T?-statistic for testing 770 : 14 -(3) on the basis of the data taken from a bivariate normal distribution given below : 6.9 > = | 10 6 8 3 15 (0 एकल चर पर लम्बकोणीय बहुपद प्रतिगमन की विवेचना उसके मुख्य लाभं के साथ 8 Discuss orthogonal polynomial regression on a single variable along with its principal advantages. 15 7. (૦) (0 क्रमबद्ध प्रतिचयन के अन्तर्गत समष्टि माध्य का आकलक दीजिये તથા इसका प्रसरण अन्तःवर्ग ‏جج‎ ‎गुणांक के पर्दो में व्युत्पन्न कीजिये। Give an estimate for the population mean under systematic sampling and derive its variance in terms of the intraclass correlation coefficient. 10 (ii) इस आकलक की दक्षता पर अन्तःवर्ग सहसम्बन्ध के प्रभाव की चर्चा कीजिये। Discuss the effect of intraclass correlation on the efficiency of this estimator. 5 2) निम्नलिखित आँकडे एक दो-कारक यादृच्छिक प्रभाव वाले प्रतिरूप से हैं : Pw B छ, B, B, कारक A ee 10 14 41 8 12 16 12 16 20 42 14 18 22 (9 दिया है જિ प्रयोग करने वाला सशंकित है જિ दोनों कारक परस्पर प्रभावित हो सकते हैं, उपर्युक्त ‏اد‎ के लिए सभी मान्यताओं के साथ रैखिक प्रतिरूप लिखिये। ( परिकल्पना જો स्पष्ट रूप से लिखते हुए मुख्य प्रभावों तथा परस्पर प्रभावों का परीक्षण प्रसरण विश्लेषण की पूर्ण सारिणी के साथ उपर्युक्त आँकड़ों का उपयोग करते हुए कीजिये। KVMS-P-STS/21 11 [ P.T.O. The following data come from a two-factor random effect model : ୦୩୮୮ B ‘actor B, 2, 2, Factor A 10 14 41 8 12 16 12 16 20 42 14 18 22 (i) Given that the experimentor suspects interaction, write the linear model stating all the assumptions for the above data. (ii) Clearly stating the hypothesis, carry out the tests for the main effects and interactions giving the complete ANOVA table for the above data. 5+15=20 (2 एक संतुलित अपूर्ण खण्डक अभिकल्प (BIBD) के प्राचल है ௦-4 (कारक), 256 (खण्डक), 753 (प्रतिकृति प्रत्येक कारक की), ! =2 (खण्डक आमाप), 7. = 1. निम्नलिखित समायोजित उपचार (ચા कारक) योग (खण्डक प्रभाव को हटाकर) इस प्रकार दिए गए हैं : 0] = 12, 02 = 8, 03 = 4 तथा 04 न 0. दी हुई माध्य वर्ग त्रुटि = 2-5. டு सत्यापित कीजिये कि यह एक विधिमान्य BIBD है। (1) उपचार प्रभावों एवं उनके प्रसरणों का आकलन कीजिये। (ii) इस 8181) के दक्षतांक જો यादृच्छिक पूर्ण खण्डक अभिकल्प के सापेक्ष उसी प्रतिकृति संख्या के साथ ज्ञात कीजिये। A balanced incomplete block design (BIBD) has parameters ৮ = 4 (treatments), b=6 (blocks), r=3 (replicates per treatment), £ = 2 (block size), 7.51. The following adjusted treatment totals (after removing block effects) are given as ‏ہو‎ =12, ©> = 8, 03 = 4 and Q, = 0. The MSE is given as 2:5. (0 Verify if this is a valid BIBD. (ii) Estimate the treatment effects and their variances. (11) Compute the efficiency factor of this BIBD relative to a randomized complete block design with the same number of replications. 54+5+5=15 KVMS-P-STS/21 12 001 881 ୪୮୮ 661 ୨୮୮ 551 281 ¿91 ୦୬୩୮ 891 ୫୫୮ 1961 108 018 ୮୮୮ (हट 092 006 8६ ಹ 971 981 ٤٤ 991 891 191 991 SLT 891 161 961 202 60% LIZ हट्ट ୦୮ଅ ৪92 408 ८6४ एटा 661 ୮୮ 881 651 991 0૮1 ୦୬୩୮ ৮৪া 861 661 ৮০৮৮ 01% LIZ STZ LET EST 94৮ ୦୮୮ 00৮ 09 151 8ST ୨୮୨୮ 691 চকা 6/1 1991 261 ୦୦ 80 তাত 91 STZ ET વ 19% च्छट ६८6४ ৪০৮ 0৮ 691 891 921 6LT ୨୮୫୮ 6681 861 10% 60% 91% टट “ट्ट ६६८ ट्ट EST 692 Zt CEE ૭1: 0६ ୨୨୮ 021 SLT 1૪1 881 061 ૪61 ‏جج‎ 01% श्ट WE ૪૮૮ SET ৮৮ত ५५८ 0/7 86௨ ६६६ श 62 ୭୨୮ 1&1 ൧217 581 181 161 961 ૪૦0૮ তাত 61% छएटट OFT YET ૧ 9૬૮ ILT ५6८ PEE 02৮ ৪: 49T 821 681 881 881 861 261 90% 818 OFF ૬૮૮ 185 LET 9৮০ LOZ ELT 96 ૬૬૬ ৮ ટટ 691 ୭୬୮ ୦୫୮ 981 061 861 661 LOZ STZ তেত “टट 557 655 (श्ट 6906 ৮৮৮ BOT LEE 80% 9% 121 221 ୪୫୮ 281 261 961 10% 60% जाट চতত टट 1૬૮ OWT 6୮ 09८ 9/7 66% 6565 नट 90 821 641 ௩81 681 161 861 808 11% 918 जट्ट 0६८ VEC SZ 182 ৮ ‏جع‎ 106 OE 92৮ be ‏ہے‎ ‎9&1 ୮୫୮ 981 161 961 ठट SOT 51% OTF “टट ટદેઠ LET कट EST PIT 08८ COE SE ৪৮৮ ६८ జ్ర 881 = च्छ 681 18961 861 808 LOT STZ ६टठ 082௨ ৮৪৮৮ 0৮৮ OFZ ५५८ 99% 882௨ ୦୦୮ ৮৮৪ 06৮ তে 8 181 281 ૮61 961 10% 808 01% 81% SZ CC LET Ge 6৮৮ LOZ ৪9০ ૪૪૮ LOE ૮૪૬ ट [2 தீ ୨୫୮୮ 061 861 661 10% 808 তাত OZ ૪૮૭૮ SEZ 6୭୮ 65૪૮ 1૬૮ 098 2 “हट OLE 606 9६४ 02 & 881 861 861 ६0८ LOT 118 जाट ESS IEC BEC CHT ৪৮৮ PST 596৫ PLS 066 ETE 2096 ৪6৮ 61 தீ 861 261 20০০ 908 ITT STC 61% ઠ૮ PET 1૪૮ OFT 1૬૮ 898 99% (ಓರ ६6८ OIE 996 ৮৮ 8 2 961 10% 90% 01୮1 8918 6୮ 888 IEC BET 9৮৮ 6৮6৮ ୭୭ 198 0/7 I8% 96% OE 668 9৮৮ LT 2 10૮ 90૮ ୮୮ STC 6୮ ‏تج‎ 966 SET CHE GHZ PST 6୭ 99% ৮4৫০ 58% 106 ৮৮৪ ६9६ 6৮৮ 9 कै 207 ୮୮୪ जाट 068 STZ 675 EFT ୦୮ ৪৮৮ 1૬૭૮ 69% ૪9૮ ILZ 6L% 06% 908 606 896 ৮৪৮ ST & 812 शाट tt “ट्ट 188 SET 686 92 EST 09 ୦୨ଅ 0૮૮ ‏جو‎ SBS 96౭ 116 ৮৮৪৮ PLE 09৮ চা 3 [૮૭૮ SGC 0862 PET BET GT 9৮৮ EST 09૮ ૮9૮ 145 LLZ 586৮ ৮ ६0६ 816 ୮୨୮ IVE 19% દા മഃ 0६८ ৮৪৮৮ BET EFT LHe IST 19% ૮9૮ 69% SLZ 08“ ૬૪૮ I6% 00४ ୮୮୮ 9౯౯ 6୨୮ 686 ५८४ তা ठ Ove ୭୨୮୪ 6৮৮ EST 288 19% ૬૦૮ TLE 6/ ૬૪ 066৮ 868 108 608 0८६ 988 698 866 ৮৪৮ 11 3 ୨୭୨୪ 882 ૮9૮ 99૮ ০৪৮৮ PLE ൧/7 ૬૪૮ 16૮ 86૮ ૮0૬ LOE ୨୮୮ 575 ६६६४ 8४६ ILE 01% 96৮ 01 के [૮૮ SL 626 ૬૪૭૮ 98% 06% ৮৪6৮ ୮୦୮ LOE %18 BIE ETE 675 LEE ৪৮৪৮ 9986 986 90% তাও 6 ন ६6८ ൧6% 108 ৮০৪ 80६ CIE 818 GE 8८६ ૬૬૬ 6६६ ৮৮৪ OSE BSE 696 ৮৪৪ ൧0% 9৮৮ 755 8 eve LOE 0६६ PEE BEE IPE ৮৮৪ 1૬૬ ୬୭୮ ૪9૬ 895 ELE GLE LYE LOE তাচ 90% ૪૮૭૪ 655 2 4916 028 125 ൧75 188 ৮৪৪ 298 1966 00% 90% 01% ୦୮୩୪ 12% ౪9౯౪ 66৮ ୮୭୩ 94৮ ୨୮୦ 669 9 98৮ 0৮৮ Ebb 9৮৮ 09৮ ESP 99৮ Cb ৪9৮ ৮৫৮ LLb ৪৮ ৪৪৮ ৪96৮ SOS 619 1৮9 6⁄୦ 199 ५ ६9५ 998 69S ૮૮૬ 5945 ൧75 O8S 98S 169 969 009 109 609 919 929 689 699 ৮6৪ ITLL + 698 sss 298 698 ૮9૪ ৮৪৪ 998 028 +48 648 I88 S88 688 +68 106 216 826 ५५6 8101 ६ 0561 6861 80161 10161 90161 5761 ૬૪6૫ லள 1૪61 00161 ৪661 486. 90161 89161 0861 SZ6I 91:61 0061 1981 ਨ 6৮৪৮ ૬૬૬૮ ठ ८9८ 119८ 1098 [6৮৮ 08৪৮৮ 69৮৮ 6୭୮ 611৮৮ 50४८ 68६८ 89६८ ০0৮৪৮ TOET 9৮৮৫ LSIZ ५66ा ୮୮9୮ 1 99 0೭1 09 Ov 0६ ve 07 91 তা 01 6 8 এ 9 s ங்‌ ६ ટ 1 la (ര) 403৪3901014 ૦૫૩ 20] ౦09314 Jo 5331390 1⁄1 fa Iq 0.0 UOTNALYSIG-4 903 Jo 91౮0౦4 9০৪৪৭৮০০৫০৭ [ P.T.O. 13 KVMS-P-STS/21 8. (മ) बहुचरीय प्रसामान्य बंटन को परिभाषित कीजिये तथा इसके महत्त्वपूर्ण गुणधर्म लिखिये। माना 21, 2८2, ® 3 तथा 2. परस्पर स्वतन्त्र यादृच्छिक सदिश हैं, जो 7४, (1, ೫) का अनुसरण करते हैं। तब ; 1 1 1 1 i) W,=—X,-—X,+—X,--X (0 1 4 1 4 2 4 3 4 4 : 1 1 1 1 (i) ૪2-2-34 का सीमान्त बटन ज्ञात कीजिये। यादृच्छिक सदिशो W, तथा ਦੂ का संयुक्त बटन भी ज्ञात कीजिये। Define multivariate normal distribution and write down its important properties. Let మ్మ, ১02, 23 and X, are mutually independent random vectors following N,,(u, 2). Then find the marginal distributions of i) 1 1 1 1 i) W, =—X, ¬ -- 7 2 + _ 7£ 3 ¬ - 7£ (नि ‏کے‎ ty Xa ‏کی‎ ‎ति 1 1 1 1 ii) W, =—X,+—X,-—X3-—-X છિ Wa = चा ಸಾಹು সও પ4 Also obtain the joint distribution of random vectors W, and 72. 20 (૭) एक N=4 की समष्टि में इकाइयों के मान ই 9) = 10, ४2 = 20, ४३ = 30 तथा 94 =40. एक 7-2 आकार के पुनःस्थापना रहित प्रतिदर्श पर विचार कीजिये, जिसमें सम्मिलित होने की प्रायिकता, इकाई के लिए उसके आकार 2८; के समानुपाती है, जहाँ 2] = 1, 22 = 2, ‏ود‎ = 3, x4 = 4. समावेशी प्रायिकताओं को लिया जाता है ಗ್ಯ न i=12,3,4 ٤ (i) मान लीजिये प्रतिचयनित प्रतिदर्श है (2, 4). हॉरविट्ज-थॉम्पसन आकलक से, समष्टि योग को आकलित कीजिये। ‎दिया है कि इकाई 2 एवं 4 के लिए संयुक्त समावेशी प्रायिकता ই 1024 = 0-3, तब हॉरविटूज-थॉम्पसन‏ ہم ‎आकलक का प्रसरण ज्ञात कीजिये तथा उसके ऋणात्मक प्रसरण आकलक की सम्भावना पर टिप्पणी‏ ‎कीजिये।‏ ‎A population of 77 = 4 units has values y, = 10, ४2 = 20, 93 = 30 and 94 = 40. Consider a sample of size n=2 without replacement with inclusion probabilities proportional to a size measure x;, where x, = 1, 22 =2, x3 = 3, 24 = 4. The inclusion probabilities are taken as ‎nx; . ‎Tl; = চল], 2,3, 4 ‎i ‎Xj ‎(i) Suppose the selected sample is (2, 4}. Using Horvitz-Thompson estimator, estimate the population total. ‎(ii) Given the joint inclusion probabilities 7024 =0-3 for units 2 and 4, estimate the variance of Horvitz-Thompson estimator and comment on the possibility of negative variance estimate. 7+8=15 ‎KVMS-P-STS/21 14 (୬ (0 पूर्ण संकरण एवं आंशिक संकरण में अन्तर स्पष्ट कीजिए। Distinguish between complete confounding and partial confounding. 5 ( उदाहरण देकर स्पष्ट कीजिये कि एक 21 -बहुउपादानी प्रयोग का 2 प्रतिकृतियों के साथ 2” खण्डको में आंशिक संकरण आप कैसे करेंगे, जिससे कोई भी मुख्य प्रभाव संकरित न हो। प्रत्येक प्रतिकृति में संकरित प्रभाव का उल्लेख कीजिये। Illustrate how you will partially confound a 2*-factorial experiment into 22 blocks in 2 replicates with no main effects confounded. State the confounded effects in each replicate. 10 kkk KVMS-P-STS/21 15 SB27—42