QP-CSM-26-010926-Optional-MATHEMATICS-PAPER I

Civil Services (Main) Examination, 2026 KVMS-P-MTC गणित (সফল-দল-]) निर्धारित समय : तीन घण्टे अधिकतम अंक : 250 प्रश्‍न-पत्र सम्बन्धी विशेष अनुदेश (उत्तर देने के पूर्व निम्नलिखित निर्देशों को कृपया सावधानीपूर्वक पढ़िए) इसमें आठ प्रश्न हैं, जो दो खण्डों में विभाजित हैं तथा हिन्दी और अंग्रेजी दोनों में छपे हुए हैं। परीक्षार्थी को कुल पाँच प्रश्नों के उत्तर देने हैं। प्रश्न संख्या 1 और 5 अनिवार्य हैं तथा बाकी प्रश्नों में से प्रत्येक खण्ड से कम-से-कम एक प्रश्न चुनकर तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए। प्रत्येक प्रश्न/भाग के लिए नियत अंक उसके सामने दिए गए శే! प्रश्नों के उत्तर उसी प्राधिकृत माध्यम में लिखे जाने चाहिए, जिसका उल्लेख आपके प्रवेश-पत्र में किया गया है, और इस माध्यम का स्पष्ट उल्लेख प्रश्न-सह-उत्तर (Fo सी० ए०) पुस्तिका के मुखपृष्ठ पर निर्दिष्ट स्थान पर किया जाना चाहिए। प्राधिकृत माध्यम के अतिरिक्त अन्य किसी माध्यम में लिखे गए उत्तर पर कोई अंक नहीं मिलेंगे। यदि आवश्यक हो, तो उपयुक्त ஊதி का चयन कीजिए તથા उनको निर्दिष्ट कीजिए। जब तक उल्लिखित न हो, संकेत तथा शब्दावली प्रचलित मानक अर्थो में प्रयुक्त ই। प्रश्नों के उत्तरों की गणना क्रमानुसार की जाएगी। यदि काटा नहीं हो, तो प्रश्न के उत्तर की गणना की जाएगी चाहे वह उत्तर अंशतः दिया गया हो। प्रश्न-सह-उत्तर पुस्तिका में खाली छोड़ा हुआ पृष्ठ या उसके अंश को स्पष्ट रूप से काटा जाना चाहिए। MATHEMATICS (PAPER-1) Time Allowed : Three Hours Maximum Marks : 250 QUESTION PAPER SPECIFIC INSTRUCTIONS (Please read each of the following instructions carefully before attempting questions) There are EIGHT questions divided in two Sections and printed both in HINDI and in ENGLISH. Candidate has to attempt FIVE questions in all. Question Nos. 1 and 5 are compulsory and out of the remaining, THREE are to be attempted choosing at least ONE question from each Section. The number of marks carried by a question/part is indicated against it. Answers must be written in the medium authorized in the Admission Certificate which must be stated clearly on the cover of this Question-cum-Answer (QCA) Booklet in the space provided. No marks will be given for answers written in a medium other than the authorized one. Assume suitable data, if considered necessary, and indicate the same clearly. Unless and otherwise indicated, symbols and notations carry their usual standard meanings. Attempts of questions shall be counted in sequential order. Unless struck off, attempt of a question shall be counted even if attempted partly. Any page or portion of the page left blank in the Question-cum-Answer Booklet must be clearly struck off. KVMS-P-MTC/17 1 [ P.T.O. wus—A / SECTION—A 1. (૦) ૮ के वे सभी मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए समघातीय समीकरर्णो के निकाय ax+y+z=0 x+y-z=0 × +{/ ¬ ୩2 = 0 के ages हल हैं, और अतः ৫ के प्रत्येक মান के लिए सभी हल निर्धारित कीजिए। Find all the values of a for which the system of homogeneous equations ax+y+z=0 x+y-z=0 x+y-az=0 has non-trivial solutions, and hence determine all the solutions for each value of a. 10 0) यदि A और ৪ समरूप आव्यूह हैं, লী दर्शाइए कि 4 और ৪ की कोटि (रैंक), अनुरेख (ट्रेस), अभिलाक्षणिक बहुपद और अभिलाक्षणिक मान समान होते हैं। If A and B are similar matrices, then show that A and B have the same rank, trace, characteristic polynomial and eigenvalues. 10 2 2 2 ‏نس‎ ક oe का मान ज्ञात कीजिए। છ दि (य ‏شور تمہ‎ ® तो ++ : 5 2०४ , 0218, 62 11 ۷)3 ‏لا‎ 2) = (x? कछ + 22) 1/2, then find the value 0 == += +=. ५ ax? dy? 922 10 ‎मैकलॉरिन प्रमेय का प्रयोग करते हुए × की आरोही घातों में ©= ୧୦୭ × के प्रसार के प्रथम चार पद प्राप्त कीजिए।‏ رم ‎अतः या অন্য विधि से ९ - “°=. की सीमा (लिमिट) ज्ञात कीजिए, जब x शून्य की ओर अग्रसर होता ୪ |‏ ‎20 ¬ 511 x ‎Using Maclaurin’s theorem, obtain the first four terms of the expansion ‎of e*°°S* in ascending powers of x. Hence or otherwise find the limit of eX - ۶ - as x tends to zero. 10 ੭2 - अ) x ‎KVMS-P-MTC/17 2 ഭു उस गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र, रेखा 54-22 = 0 = 22-3૪ पर है तथा जो बिंदुओं (0, -2, -4) और (2, -1, -1) से होकर जाता है। Obtain the equation of the sphere having its centre on the line Sy+2z=0=2x-3y and passing through the points (0, -2, -4) and (2, -1, -1). 10 2. (a) ೫೫7: Py[x] > । [24] एक रैखिक रूपांतरण है, जिसे T (ao + 61× + ৫2%2) = (୩0 + 261 + ৫2) + (200 + 361) × ¬ 2 (୩0 + য়) x? द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ 220, x में सभी बहुपदों का समुच्चय है, जिनकी घात < 2 है तथा ৫০, व्य, ৫2 € ए हैं। 722] के मानक आधार के सापेक्ष 7 के आव्यूह निरूपण का उपयोग करते हुए 7 के अभिलाक्षणिक मान तथा संगत अभिलाक्षणिक सदिश ज्ञात कीजिए। Let 7: 2 [ध] - ‏وط‎ [2] be a linear transformation defined by T (ao 4924 922“) = -(৫০ + 261 + ৫2) + இஷ + 361) × -2 (00 +न) where 7 [+] denotes the set of all polynomials in x of degree <2 and ‏وه‎ মে, ৫2 € ए. Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of T using the matrix representation of T with respect to the standard basis of P,[x]. 20 മു यदि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण તથા एक अन्य भुजा की लंबाइयों का योग दिया गया हो, તો इन भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए, जिसके लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम है। If the sum of the lengths of the hypotenuse and another side of a right-angled triangle be given, then find the angle between these sides so that the area of the triangle is maximum. 15 (0 रेखाओं ಸ = a = ao और AS = = = 5 पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए, जो एक-दूसरे के निकटतम | अतः इन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी તથા इसका समीकरण ज्ञात कीजिए। Find the points on the lines రా 2:55 કક... and 3 அனல்‌ கறு -2 1 7 -6 1 which are nearest to each other. Hence find the shortest distance between the lines and its equation. 15 KVMS-P-MTC/17 3 [ P.T.O. 3. (८) क्षेत्र पर एक सदिश समष्टि के रूप ਸੌ છુ [x] = {०0 + ०1८ + ०2८2 + ৫3203 | 40, ୩1, ৫2, ‏وه‎ € R} दिया गया है। ‎माना छ = (230 € క్కి [0 (000 dx = 0} है। सिद्ध कीजिए कि ਹਰ, P [x] की एक उपसमष्ट है‏ م ‎तथा A का एक आधार ज्ञात कीजिए। ‎ஆ की एक ண K ज्ञात कीजिए, जिसके लिए 7 ध] = 7 OK है।‏ رم ‎Given ‏رط‎ [x] = (90 + ୩1× + ৫222 + ৫323 | ৫0, a, 02, ৫3 € एए} as a vector space over the field R. ‎0 Let H = {8 € P3[x]| గ్‌ P(x) dx = 0) . Prove that H is a subspace of ‏وط‎ [x] and find a basis of H. ˆ ‎൫10. 8+7=15‏ 77 = 00 وط ‎Find a subspace K of P3[x] such that‏ رم ‎മു (¢ समाकलन के क्रम જો उलटकर द्विशः समाकल நீ ox ધ x?y dydx का मान ज्ञात कीजिए।‏ ‎४ +‏ ‎2x+1 ‎Evaluate the double integral | fo. 2 9 dydx by reversing the order of ‎integration. ‎(ii) उस ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए, जो निर्देशांक என்‌ x=0, y=0, 250 તથા समतल ‎2 + & + 2 = 1 के प्रतिच्छेदन से बनता శే! abe ‎Find the volume of the solid, which is formed from the intersection of ೫.೪೩ ‎the coordinate planes x = 0, y=0, 2 = 0 and the plane athe = 1. a ८ (೦ यदि ર ಹತ್ಯೆ = लि शंकु Syz-8zx-3xy = 0 के तीन परस्पर लंबवत्‌ जनको के समुच्चय ਸੌ से किसी एक ‎को निरूपित करता है, तब अन्य दो के समीकरण ज्ञात कीजिए। ‎1727 3 represents one of a set of three mutually perpendicular generators ‎of the cone Syz- 8zx-3xy=0, then find the equations of the other two. ‎KVMS-P-MTC/17 4 ‎10 ‎10 ‎15 4. (2) माना 7 सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है तथा 1, 75 से 73 तक रैखिक रूपांतरण है, जिसे 70 ೪ 2 = (× ¬ ४ +22 221714 -%-2৮+22) द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि 73 में (८, ઠ ૦) एक सदिश है, तो निम्नलिखित के उत्तर दीजिए : ( a & ८ पर वह शर्त ज्ञात कीजिए, जिसके लिए सदिश (८, ¢ ‏و‎ TH शून्य समष्टि में हो। 7 જી शून्यता क्या है? (i) ८ ‏بط‎ ८ पर वह शर्त ज्ञात कीजिए, जिसके लिए सदिश (9, & ‏ہو‎ TS परिसर (रज) में हो। 7 की कोटि (रँक) વ્યા है? Let F be a subfield of complex numbers and let T be the linear transformation from 75 into 73, defined by 1 (6 छ 2 = (× - দ+22 2214 -x-2y+2z2) If (# ‏ط‎ ୟ is a vector in 73, then answer the following : (0 Find the condition on a, b, c such that the vector (a, b, c) be in the null space of 7. What is the nullity of T? (ii) Find the condition on a, b, c such that the vector (0, & c) be in the range of 7. What is the rank of T? 8+7=15 മ) वक्र ४१(८-- ‏ور‎ = %2(30.- 2 का अनुरेखण कीजिए। Trace the curve {2 (୩ + x) = ×2(36 - 20. 15 (9 டு अतिपरवलयज உட 4 9 16 की उन जनक रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (2, 3, - 4) और (2, - ਤੂੰ) से होकर जाती हैं। Find the equations of the generating lines of the hyperboloid 2 ചൂ - 2 ಆಶೆ ಎತ 1 4 9 16 which pass through the points (2, 3, ¬ 4) and (2, ¬ 1, 3. 10 KVMS-P-MTC/17 5 [ P.T.O. 5. (a) यदि y और yo, ಈ, Play = 00) के दो हल हैं तथा ४५ =) है, तो दर्शाइए कि (৮) (6) ‎उस लंबवृत्तीय बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका अक्ष x = 2 = _2 ই તથા त्रिज्या 4 है।‏ رم ‎सिद्ध कीजिए कि समतल z=0 द्वारा इस बेलन के परिच्छेद (सेक्शन) का क्षेत्रफल 247 ই।‏ ‎Find the equation of the right circular cylinder whose axis is x = 2y = -2,‏ ‎and radius is 4. Prove that the area of the section of this cylinder by the plane z=0 15 247. ‎खण्ड--8 / SECTION—B ‎u=l+ae ` ୧୮14 ಕ್ಲಿ जहाँ ત एक ‏جح‎ अचर है। ‎If ४1 and ৬2 are two solutions of Puy = Q(x), and {2 = y,u, then show ‎ക്ക ‎that u=l+ae ડી , where a is a non-zero constant. ‎शर्तों yO) = 3, ४0) = 1 के अधीन, लाप्लास रूपांतरण लागू करके 22-47) y(t) = 2, D= = को हल ‏انتا‎ ‎Apply Laplace transform to solve (D? +D) y(t) = 2, 2-2, subject to the ‎conditions {/ (0) = 3, ૪0) = 1. ‎परिक्रमण का एक चिकना परवलयज इस प्रकार स्थित है कि उसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है तथा शीर्ष ऊपर की ओर है; इस पर 27 अतानित लंबाई की एक भारी प्रत्यास्थ डोरी रखी है। जब डोरी संतुलन में हो, तो कल्पित कार्य का ‎सिद्धांत (नियम) लागू करके यह दर्शाइए कि यह _ “natin _ ‏چ ےڈ‎ एक વૃત્ત के रूप में है, जहाँ w डोरी 47:67. ¬ Wb ‎का भार है, 2. प्रत्यास्थता गुणांक है तथा 40 जनक परवलय का नाभिलंब है। ‎A smooth paraboloid of revolution is fixed with its axis vertical and vertex upwards; on it is placed a heavy elastic string of unstretched length 276. ‎When the string is in equilibrium, apply the principle of virtual work to show 4 70%. 47:67. - WD’ the string, 7. is the modulus of elasticity and 4a is the latus rectum of the ‎that it rests in the form of a circle of radius where W is the weight of ‎generating parabola. ‎KVMS-P-MTC/17 6 ‎10 ‎10 ‎10 ‎10 ‎एक कण, एक उल्टी Head के शीर्ष से विराम अवस्था से नीचे गिरता है। सिद्ध कीजिए कि कण वक्र को तब‏ رم ‎BST, जब कण द्वारा तय किया गया पथ उस Seater दूरी का 4/3 गुना हो, जितनी दूरी तक कण नीचे गिरा है।‏ ‎A particle falls from rest at the vertex of an inverted catenary. Prove that the particle will leave the curve when the path described is പ്ര times the vertical distance through which the particle has fallen. 10 ‎(9) दिया गया है कि 7 = (2±× + 314 _ 427 _ 5±×£ है तथा ऽ सतह 2× +41/ +42 = 5 है, जो × = 0, ± = 2, { = 0 और {/ = द्वारा परिबद्ध ® | [பப Ads का मान ज्ञात कीजिए। 5 ‎Given 7 = (2× 4391 -42) -5xk and 5 is the surface 2x +4y+4z=5, bounded ‎by × = 0, × = 2, { = 0 and y=3. Evaluate [பைர கல 10 5 ‎2 ত ad ૪3 dy _ sin (log x) +1 6. (a) x ವ ‏بے‎ 10౪ को हल कीजिए। ‎2 5 உர 3 = 00840 109 ‎Solve x ୭” cx x ਮੋ 15 ‎മ (¢ एक जंगी जहाज & वेग से आगे बढ़ रहा है। जहाज पर एक बन्दूक इस तरह लगाई गई है कि उसका मुँह ठीक पीछे की ओर है तथा उसे उन्नयन कोण ૦ पर रखा गया £ | यदि बन्दूक के सापेक्ष प्रक्षेपण (प्रोजेक्शन) ‎का वेग ల हो, तो दर्शाइए कि परास 2! sina (૪૦૦૭૦ - છ) है तथा अधिकतम परास के लिए कोण है g +౬2 +8v2 cos7!| ५ + +/1८~ +8v 4৮ ‎जहाँ 9 गुरुत्वीय त्वरण को दर्शाता ಕ| ‎A battleship is steaming ahead with velocity u. A gun is mounted on the ship so as to point straight backwards and is set at an angle of elevation ௦. If v be the velocity of projection relative to the gun, show that ‎the range is —sina(vcosa-u) and the angle for maximum range is g ‎1 [~> cos യവം. ‎4৮ ‎where g stands for acceleration due to gravity. 10 ‎KVMS-P-MTC/17 7 [P.T.O. (0 (a) (i) एक एकसमान जंजीर (चेन), जिसकी लंबाई 12, का एक सिरा एक खुरदरी मेज से ‏ہ‎ ऊँचाई पर स्थिर है और यह एक ऊर्ध्वाधर तल में इस प्रकार रखी है कि इसका एक हिस्सा मेज पर एक सीधी रेखा में है। सिद्ध कीजिए कि यदि चेन फिसलने की कगार पर है, तो मेज पर उसकी लंबाई (ഥു Ju? 4182 4248 है, जहाँ மாண்‌ गुणांक ¥ | A uniform chain of length 1 has one end fixed at a height h above a rough table and rests in a vertical plane so that a portion of it lies in a straight line on the table. Prove that if the chain is on the point of slipping, the length on the table is (+) - ‏تم‎ +n? + 241; h? +2uih, where p is the coefficient of friction. परवलय ४१ = 40% के लिए 7; ۸ छै, « और ಇ निर्धारित कीजिए, जहाँ ८ एक अचर है। यहाँ ۶ ۸ 8, ਨ तथा ಇ क्रमशः एकक स्पर्शी सदिश, एकक मुख्य अभिलम्ब सदिश, एकक उपाभिलम्ब सदिश, वक्रता તથા मरोड़ को निरूपित करते हैं। Determine + Ny, B, 1 and % for the parabola ಶ್ರ? = 40%, where a is a constant. Here 7 N, B, « and ಇ denote unit tangent vector, unit principal normal vector, unit binormal vector, curvature and torsion respectively. प्राकृतिक लंबाई ( की एक हल्की प्रत्यास्थ डोरी का एक सिरा बिंदु 4 पर स्थिर है તથા दूसरा सिरा एक पत्थर (द्वव्यमान 77) से जुड़ा है; संतुलन की स्थिति में इस पत्थर का भार डोरी को खींचकर ¢ लंबाई तक बढ़ा देता है। दर्शाइए कि यदि पत्थर को बिंदु 4 से विराम अवस्था से गिराया जाए, तो वह {2+ = 7-008-8 pat g g b+l समय में संतुलन की स्थिति से 82 _ 12 नीचे तात्क्षणिक विराम अवस्था में आ जाएगा। यह भी सिद्ध कीजिए कि यदि এ के नीचे अधिकतम गहराई 1০০৮2 £2, તો प्रत्यास्थता गुणांक न tan? 6 है। A light elastic string of natural length 1 has one extremity fixed at a point A and the other attached to a stone (mass m) the weight of which in equilibrium would extend the string to a length b. Show that if the stone be dropped KVMS-P-MTC/17 ৪ 10 15 from rest at A, it will come to instantaneous rest at a depth Vb? -12 - {2 below the equilibrium position and this depth is attained in time 2 ¬ ર + ‏ہے‎ + . | - 41 - 08 न g g b+l Prove also that if the greatest depth below A be 10002 ಕ್ವಿ then the modulus of elasticity is ટ” tan? 9. 15 (8) WRF =4xzi-y?j+yzk?, तो [ரி ନ యం का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ 8 एक इकाई ঘন का पृष्ठ है 5 जिसके दो विपरीत कोने क्रमशः (0, 0, 0) तथा (1, 1, 1) पर हैं। अतः अपसरण (डाइवर्जेंस) प्रमेय को सत्यापित कीजिए। If £ = 422? -y2}+yzk, then evaluate [fF -aas, where S is the surface of 5 a unit cube with two opposite corners at (0, 0, 0) and (1, 1, 1) respectively. Hence verify the divergence theorem. 15 (ಲ. ட ‏چا‎ कि (2× - ४-1) ४ 7× + (2४ - × _ 1) x dy = 0 का एक समाकलन गुणक (x+y + 1) है। अतः इसे हल कीजिए। Show that (£4 0941) ‏ہز‎ an integrating factor of (2x-y-l)y dx + (2{ ¬ × ¬ 1} x dy=0 Hence solve it. 10 0 =F 0] ‏حے‎ अतः 7150501 - ୦୦୫ ‏م‎ यदि 2. (10) = 7 (5) है, તો दर्शाइए कि {| = [ 70.) du ই। अतः गन्त | का मान ज्ञात कीजिए्‌। If 77708) = /(5), then show that 2781-47 du. Hence evaluate 10 اہ =[ t KVMS-P-MTC/17 9 ೫೫೦, 2 8. (a) प्राचल-विचरण विधि द्वारा ‏لاج‎ +a7y=sec ax को हल कीजिए। dx 2 Solve ര = sec ax by the method of variation of parameters. 15 (૭) 1 लंबाई તથા 17 भार की एक एकसमान છડ AB ই, जो अपनी लंबाई में बिंदु ੭ से लि दूरी पर स्थित एक निश्चित बिंदु के परितः स्वतंत्र रूप से घूम सकती है। AC तथा BC दो हल्की डोरियाँ ই, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई 21% और जो ८४ भार के एक कण Ca जुड़ी है। सिद्ध कीजिए कि यदि 97, ‏سد‎ से कम है, तो स्थायी संतुलन की स्थिति होगी, जिसमें 45 क्षैतिज से tan પી कोण पर झुकी होगी। ‘WwW AB is a uniform rod of length 1 and weight W, which can turn freely about a fixed point in its length distant নত from A. AC and BC are light strings each of length ટ attached to a particle C of weight w. Prove that if W is less than 2w, there will be stable equilibrium with AB inclined to the horizontal exe) 4w / at an angle प्ण 1S (9 0 एक अदिश बिंदु फलन ¢ तथा एक सदिश बिंदु फलन ¢ के लिए सिद्ध कीजिए कि Vx (OF) = (२१ xF +फ(ए × 7) यदि 7 = % # છ) + >£ तथा ‏دم‎ | हैं, तो => तथा F=7 के लिए उपर्युक्त सर्वसमिका (आइडेन्टिटी) को सत्यापित कीजिए। For a scalar point function ൫ and a vector point function F, prove that = > > Vx (oF) = (एफ) 2૯2 + 9(୧ × 7) If 7 =xityj+zk and 7 =|7 |, then verify the above identity for §= మీ ਨ and F = ਨੰ. 10 KVMS-P-MTC/17 10 (i) यदि 7 =acosti + 517 £7 + ୬୪୧ है, तो दर्शाइए कि 17/9 7/12 = 02 (22 +b?) और [हे ?“ ‏سد‎ = 222 If 7 = ௨௦௦௧11 +asin tj+btk, then show that [?’x?”? =a? (a? +b?) and [टे ‏سد مد‎ = 2४ kkk KVMS-P-MTC/17 11 10 SB27—1320