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Civil Services (Main)
Examination, 2026
KVMS-P-STS
सांख्यिकी (प्रश्न -पत्र-ा)
निर्धारित समय : तीन घण्टे अधिकतम अंक : 250
प्रश्न-पत्र संबंधी विशेष अनुदेश
(उत्तर देने के पूर्व निम्नलिखित निर्देशों को कृपया सावधानीपूर्वक पढ़िए)
इसमें आठ प्रश्न हैं, जो दो खण्डों में विभाजित हैं तथा हिन्दी और अंग्रेजी दोनों में छपे हुए हैं।
परीक्षार्थी को कुल पाँच प्रश्नों के उत्तर देने हैं।
प्रश्न संख्या 1 और 5 अनिवार्य हैं तथा बाकी प्रश्नों में से प्रत्येक खण्ड से कम-से-कम एक प्रश्न चुनकर तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
प्रत्येक प्रश्न/भाग के लिए नियत अंक उसके सामने दिए गए हैं।
प्रश्नों के उत्तर उसी प्राधिकृत माध्यम में लिखे जाने चाहिए, जिसका उल्लेख आपके प्रवेश-पत्र में किया गया है, और इस माध्यम का स्पष्ट
उल्लेख प्रश्न-सह-उत्तर (Ho सी० vo) पुस्तिका के मुखपृष्ठ पर निर्दिष्ट स्थान पर किया जाना चाहिए। प्राधिकृत माध्यम के अतिरिक्त
अन्य किसी माध्यम में लिखे गए उत्तर पर कोई अंक नहीं मिलेंगे।
यदि आवश्यक हो, तो उपयुक्त आँकड़ों का चयन कीजिए, तथा उनको स्पष्टतया निर्दिष्ट कीजिए।
जब तक sighed न हो, संकेत तथा शब्दावली प्रचलित मानक sat में प्रयुक्त हैं।
प्रश्नों के प्रयासों की गणना क्रमानुसार की जाएगी। आंशिक रूप से दिए गए प्रश्नों के उत्तर को भी मान्यता दी जाएगी यदि उसे काटा न
गया हो। प्रश्न-सह-उत्तर पुस्तिका में खाली छोड़े गए कोई पृष्ठ अथवा पृष्ठ के भाग को पूर्णतः काट दीजिए।
STATISTICS (PAPER-I)
Time Allowed : Three Hours Maximum Marks : 250
QUESTION PAPER SPECIFIC INSTRUCTIONS
(Please read each of the following instructions carefully before attempting questions)
There are EIGHT questions divided in two Sections and printed both in HINDI and
in ENGLISH.
Candidate has to attempt FIVE questions in all.
Question Nos. 1 and 5 are compulsory and out of the remaining, THREE are to be attempted
choosing at least ONE question from each Section.
The number of marks carried by a question/part is indicated against it.
Answers must be written in the medium authorized in the Admission Certificate which
must be stated clearly on the cover of this Question-cum-Answer (QCA) Booklet in the
space provided. No marks will be given for answers written in a medium other than the
authorized one.
Assume suitable data, if considered necessary, and indicate the same clearly.
Unless and otherwise indicated, symbols and notations carry their usual standard meanings.
Attempts of questions shall be counted in sequential order. Unless struck off, attempt of a
question shall be counted even if attempted partly. Any page or portion of the page left blank
in the Question-cum-Answer Booklet must be clearly struck off.
KVMS-P-STS/21 1 [ P.T.O.
wvs—A / SECTION—A
1. (a) (i) neni A,, Ao, --, A, के लिए दिखाइये कि
elf) a;| > छीन) - (n-1)
i=1
i=1
Show that for n events Aj, A, ---, An
af fa:]= हलवा नम
i=1
i=l 7
(i) @ReR अपवर्जित घटनाओं A तथा 3 के लिए दिखाइये कि
P(A)
P(A|Av B) = ————-; P{A), P(B) >0
(Al ) Pia) + Pay ही (B)
For two mutually exclusive events A and B, show that
P(A|AU B) = —24)__.. pray, PB)>0
P(A) + P(B) 3
(b) माना X तथा का संयुक्त प्रायिकता द्रव्यमान फलन है
2
Ps घी न ao, x=0, 1, 2; y=1,2,3,4
80
ज्ञात कीजिये--
(0. Xam ४ के dar प्रायिकता द्रव्यमान फलन;
(i) P(X <1, Y >2).
Let the joint probability mass function of X and Y be
x? +2y
PIX घी न » x=0, 1, 2; y=1, 2, 3,4
80
Find—
() the marginal probability mass functions of X and Y;
(i) P(X <1, Y>2). 6+4=10
KVMS-P-STS/21 2
(c) एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व फलन है
€ डी
i=
2 X>0
जहाँ A एक धनात्मक पूर्णांक है। चेबीशेव असमिका का उपयोग करते हुए दिखाइये कि
छू < xX <20.+प]>
A+1
A random variable X has the probability density function
e*x*
Al
fx =
.x>0
where A is a positive integer. Using Chebyshev’s inequality, show that
0 < X <20+1]>
Atl
10
(d) (i) राव-ब्लैकवेल प्रमेय की सहायता से कैसे एकसमान न्यूनतम प्रसरण अनभिनत आकलक (UMVUE) ज्ञात
करते हैं, वर्णन कीजिये।
Describe how Rao-Blackwell theorem enables one to find the UMVUE. 5
(ii) WRI X,, Xo, --, X, एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जो एक ants, जिसका प्रायिकता घनत्व फलन
) p XQ n ig
(p.d.f.)
f(x, 0) =0x®!; O<x <1, 6>0
n
है, से लिया गया है। दिखाइये कि [[X;, 6 का पर्याप्त प्रतिदर्शज है।
i=1
Let X,, X9,---, X, be a random sample from a population with p.d.f.
f(x, 0) =0x®!; O<x <1, 6>0
n
Show that []X; is sufficient statistic of 6.
i=l 5
(e) PO) से आमाप nw एक यादृच्छिक प्रतिदर्श लेते हुए Hy : 6 < 60 विरुद्ध H, : 6 > 60 के परीक्षण के लिए
संभाव्यता अनुपात परीक्षण (LRT) ज्ञात कीजिये।
Obtain the likelihood ratio test (LRT) for testing Hy 1 9 <900 against H,:@>69,
using a random sample of size n taken from P(@). 10
KVMS-P-STS/21 3 [P-T.O.
2. (a) (i) एक यादृच्छिक चर X, जिसका प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.)
x , Osx<l
f(x) =42-x, 1sx<2
0, अन्यथा
है, का आधूर्ण जनक फलन (m.g.f.) ज्ञात कीजिये। इस आधघुूर्ण जनक फलन (m.g.f.) से E(X) तथा
V(X) ज्ञात कीजिये।
Find the moment generating function (m.g.f.) of a random variable X with
probability density function (p.d.f.)
x , OSx<l
Fig =}2-x, 15x<2
O , otherwise
Using this m.g.f., find E(X) and V(X). 10
(ii) माना oxy (= et /2 एक यादृच्छिक OX का अभिलक्षण फलन है। प्रतिलोमन सूत्र का उपयोग करते
हुए X का प्रायिकता घनत्व फलन ज्ञात कीजिये।
2
Let 0x (t) = € /? be the characteristic function of a random variable X.
Using the inversion formula, find the probability density function of X. 10
(b) (i) एक कार की मरम्मत एक गैराज में कराने पर लगने वाला समय, घंटों में, एक यादृच्छिक चर 2 है, जिसका
प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) है
f(x) =cl4x-x?), 0 <: <4, ८ एक स्थिरांक है
८ का मान निकालिये। इन घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि एक कार, जो गैराज में अब आती है,
उसके लिए--
(1) अर का मान कम-से-कम एक है परन्तु तीन से कम है;
(2) अर का मान दो से अधिक है।
The time required, in hours, to repair a car at a garage is a random
variable X with probability density function (p.d.f.)
F(x) =c(4x-x?), O0<x <4, c is a constant
Find the value of c. Obtain the probabilities that for a car which arrives
now at the garage—
(1) X is at least one but less than three;
(2) X is more than two. 9
KVMS-P-STS/21 4
(i) AT
Fle) = =e-x O<x<2
एक सतत यादृच्छिक चर 2 का प्रायिकता घनत्व फलन है। X का संचयी बंटन फलन लिखिये तथा
Ps <X< 3)
2 2
ज्ञात कीजिये।
Let
Fo == @- x} O<x<2
be the probability density function of a continuous random variable X.
Write the cumulative distribution function of X and find
P(5<x<3]
2 2
() (9. FAX एकसमान बंटन का (0, 1) में अनुसरण करता है तथा माना ४ =-log, (1-X). YH aa
ज्ञात कीजिये।
Let X follow uniform distribution on (0, 1) and let Y = —log, (1 — X). Find the
distribution of Y. 5
(ii) FAX, Xo, - स्वतन्त्र यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम इस प्रकार है कि
PIX, =n)=1 तथा P[X, =0)}=1-1, k=1,2,--
n n
परीक्षण कीजिये कि इस श्रृंखला के लिए वृहत् संख्याओं का निर्बल नियम (WLLN) का अनुसरण होता है
या नहीं।
Let X,, Xo, --- be a sequence of independent random variables such that
P[X, =n|=+ and P[X, =0|=1-4, k=1,2,--
n n
Check whether the weak law of large numbers (WLLN) holds for this
sequence or not. 5
(ii) TH उत्पादक वस्तुओं का उत्पाद करता है, जिनका माध्य भार 100 gam प्रसरण 16g? है।
64 वस्तुओं के प्रतिदर्श के लिए केन्द्रीय सीमा प्रमेय (CLT) का प्रयोग करते हुए PI < X < 101)
ज्ञात कीजिये। X, 64 वस्तुओं का प्रतिदर्श माध्य है।
A manufacturer produces items with mean weight 100 g and variance
16 pty For a sample of 64 items, find P(Q9 < X< 101), using central limit
theorem (CLT). X is the sample mean of 64 items. 5
KVMS-P-STS/21 5 [ P.T.O.
AREAS UNDER STANDARD NORMAL PROBABILITY CURVE
Normal probability curve is given by
f(x) anal कक; जात < < ००
and standard normal probability curve is given by
1 1 X= X=.
o(2) जद) जन <द्ध<द ०० हब a
where Z = मी X—u NO, 1)
ox o
The following table gives the shaded area in the diagram, viz., P(0 < Z < 2), z>0, for different
values of z:
PN | o.00 | 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 | 0.06 0.07 0.08 | 009 |
(० 0० 09 09 (9 (० (० 0० (० (9 09 09 09 3 09 09 99१9 09 व AEE EEE SOSSSS99095)"
१0 9० पय छा एफ के ६० 91-00 9 पय 0 एप + ५६० 91-०9 ७ ५ पय ० छा के ८० 91-9७ 9० 0० छा+% ५८० १9५ ०9
0.0000 | 0.0040 | 0.0080 | 0.0120 | 0.0160 | 0.0199 | 0.0239 | 0.0279 | 0.0319 | 0.0359
0.0398 | 0.0438 | 0.0478 | 0.0517 | 0.0557 | 0.0596 | 0.0636 | 0.0675 | 0.0714 | 0.0753
0.0793 | 0.0832 | 0.0871 | 0.0910 | 0.0948 | 0.0987 | 0.1026 | 0.1064 | 0.1103 | 0.1141
0.1179 | 0.1217 | 0.1255 | 0.1293 | 0.1331 | 0.1368 | 0.1406 | 0.1443 | 0.1480 | 0.1517
0.1554 | 0.1591 | 0.1628 | 0.1664 | 0.1700 | 0.1736 | 0.1772 | 0.1808 | 0.1844 | 0.1879
0.1915 | 0.1950 | 0.1985 | 0.2019 | 0.2054 | 0.2088 | 0.2123 | 0.2157 | 0.2190 | 0.2224
0.2257 | 0.2291 | 0.2324 | 0.2357 | 0.2389 | 0.2422 | 0.2454 | 0.2486 | 0.2517 | 0.2549
0.2580 | 0.2611 | 0.2642 | 0.2673 | 0.2704 | 0.2734 | 0.2764 | 0.2794 | 0.2823 | 0.2852
0.2881 | 0.2910 | 0.2939 | 0.2967 | 0.2995 | 0.3023 | 0.3051 | 0.3078 | 0.3106 | 0.3133
0.3159 | 0.3186 | 0.3212 | 0.3238 | 0.3264 | 0.3289 | 0.3315 | 0.3340 | 0.3365 | 0.3389
0.3413 | 0.3438 | 0.3461 | 0.3485 | 0.3508 | 0.3531 | 0.3554 | 0.3577 | 0.3599 | 0.3621
0.3643 | 0.3665 | 0.3686 | 0.3708 | 0.3729 | 0.3749 | 0.3770 | 0.3790 | 0.3810 | 0.3830
0.3849 | 0.3869 | 0.3888 | 0.3907 | 0.3925 | 0.3944 | 0.3962 | 0.3980 | 0.3997 | 0.4015
0.4032 | 0.4049 | 0.4066 | 0.4082 | 0.4099 | 0.4115 | 0.4131 | 0.4147 | 0.4162 | 0.4177
0.4192 | 0.4207 | 0.4222 | 0.4236 | 0.4251 | 0.4265 | 0.4279 | 0.4292 | 0.4306 | 0.4319
0.4332 | 0.4345 | 0.4357 | 0.4370 | 0.4382 | 0.4394 | 0.4406 | 0.4418 | 0.4429 | 0.4441
0.4452 | 0.4463 | 0.4474 | 0.4484 | 0.4495 | 0.4505 | 0.4515 | 0.4525 | 0.4535 | 0.4545
0.4554 | 0.4564 | 0.4573 | 0.4582 | 0.4591 | 0.4599 | 0.4608 | 0.4616 | 0.4625 | 0.4633
0.4641 | 0.4649 | 0.4656 | 0.4664 | 0.4671 | 0.4678 | 0.4686 | 0.4693 | 0.4699 | 0.4706
0.4713 | 0.4719 | 0.4726 | 0.4732 | 0.4738 | 0.4744 | 0.4750 | 0.4756 | 0.4761 | 0.4767
0.4772 | 0.4778 | 0.4783 | 0.4788 | 0.4793 | 0.4798 | 0.4803 | 0.4808 | 0.4812 | 0.4817
0.4821 | 0.4826 | 0.4830 | 0.4834 | 0.4838 | 0.4842 | 0.4846 | 0.4850 | 0.4854 | 0.4857
0.4861 | 0.4864 | 0.4868 | 0.4871 | 0.4875 | 0.4878 | 0.4881 | 0.4884 | 0.4887 | 0.4890
0.4893 | 0.4896 | 0.4898 | 0.4901 | 0.4904 | 0.4906 | 0.4909 | 0.4911 | 0.4913 | 0.4916
0.4918 | 0.4920 | 0.4922 | 0.4925 | 0.4927 | 0.4929 | 0.4931 | 0.4932 | 0.4934 | 0.4936
0.4938 | 0.4940 | 0.4941 | 0.4943 | 0.4945 | 0.4946 | 0.4948 | 0.4949 | 0.4951 | 0.4952
0.4953 | 0.4955 | 0.4956 | 0.4957 | 0.4959 | 0.4960 | 0.4961 | 0.4962 | 0.4963 | 0.4964
0.4965 | 0.4966 | 0.4967 | 0.4968 | 0.4969 | 0.4970 | 0.4971 | 0.4972 | 0.4973 | 0.4974
0.4974 | 0.4975 | 0.4976 | 0.4977 | 0.4977 | 0.4978 | 0.4979 | 0.4979 | 0.4980 | 0.4981
0.4981 | 0.4982 | 0.4982 | 0.4983 | 0.4984 | 0.4984 | 0.4985 | 0.4985 | 0.4986 | 0.4986
0.4987 | 0.4987 | 0.4987 | 0.4988 | 0.4988 | 0.4989 | 0.4989 | 0.4989 | 0.4990 | 0.4990
0.4990 | 0.4991 | 0.4991 | 0.4991 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4992 | 0.4993 | 0.4993
0.4993 | 0.4993 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4994 | 0.4995 | 0.4995 | 0.4995
0.4995 | 0.4995 | 0.4995 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4996 | 0.4997
0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4997 | 0.4998
0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998 | 0.4998
0.4998 | 0.4998 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999
0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999
0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999 | 0.4999
0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000 | 0.5000
KVMS-P-STS/21 6
3. (a)
(b)
माना
x2
fs शनि ; } O<x<1,0<y<2
X तथा YB संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन है। ज्ञात कीजिये--
() उ तथा ४ के सीमान्त प्रायिकता घनत्व फलन;
(ii) E(X) तथा V(X);
(iii) E(Y) तथा Viv);
(iv) Xa ४ के मध्य सहप्रसरण;
(vy) उ तथा YS मध्य सहसम्बन्ध गुणांक।
Let the joint probability density function of X and Y be
F(% ¥=9{ vee O<x<1O0<y<2
Find—
() the marginal probability density functions of X and Y;
(i) E(X) and V(X);
(iii) E(Y) and V(Y);
(iv) covariance between X and Y;
(v) correlation coefficient between X and Y. 20
बैटरियों के दो ब्रांड के जीवन-समय, घंटों में, नीचे दिये गये हैं :
ब्रांड A: 40 30 40 45 55 30
ब्रांड 8. :.. 50 50 45 55 60 40
(0 कोल्मोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण तथा (ii) माध्यिका (मीडियन) परीक्षण का उपयोग करते हुए परीक्षण कीजिये कि
क्या माध्य जीवन-समय के सापेक्ष ये दो ब्रांड भिन्न हैं।
4
[Ps 6, 0-05 -3|
KVMS-P-STS/21 (a [ P.T.O.
The lifetimes, in hours, of two brands of batteries are given below :
Brand A: 40 30 40 45 55 30
Brand B se: 50 50 45 55 60 40
Examine whether the two brands are different with respect to average life using
(i) Kolmogorov-Smirnov test and (ii) median test.
4
D os ==
| a’ 2) 8+7=15
(c) सिद्ध कीजिये कि एक-प्राचल चरघातांकी बंटन-समूह के लिए हमेशा एक पर्याप्त प्रतिदर्शज का अस्तित्व रहता है।
इसके उपयोग से यह feared कि प्वासों प्रतिरूप के प्राचल के लिए प्रतिदर्श योग पर्याप्त प्रतिदर्शज है। यह भी
बताइये कि क्या यह आकलक पूर्ण है।
Prove that there always exists a sufficient statistic for the one-parameter
exponential family of distributions. Using it, show that sample total is
sufficient statistic for the parameter for the Poisson model. State whether this
estimator is complete. 15
4. (a) WAX, Xo,--, X, Sea एवं समान बंटित (iid.) यादृच्छिक चर हैं, जो Nu, 07) का अनुसरण
करते हैं। ठ * का अधिकतम संभाविता आकलक ज्ञात कीजिये तथा परीक्षण कीजिये कि यह अनभिनत है या नहीं।
यदि यह अभिनत है, do? के लिए अनभिनत आकलक प्रस्तावित कीजिये तथा इसकी संगतता का परीक्षण
कीजिये। आकलकों की वर्ग माध्य त्रुटियों की तुलना भी कीजिये।
Let X,, Xo, ---, X, be iid. random variables following N(u, o”). Find the
? and examine whether the same is
2
maximum likelihood estimator for o
unbiased. If biased, suggest an unbiased estimator for o“~ and examine
whether it is consistent. Also compare the mean squared errors of the
estimators. 20
(b) 7 आमाप का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श NO, 6 *) से लिया जाता है। माना 6 का पूर्व बंटन N(u, ५ *) है, जहाँ
ठ*, ut? ज्ञात हैं। 6 का ब्येज़ आकलक (i) त्रुटि वर्ग हानि फलन तथा (ii) परम (absolute) त्रुटि हानि
her के अन्तर्गत ज्ञात कीजिये।
A random sample of size nis drawn from N(6, ठ 2). Let the prior distribution 016
be N(u, 17), where o7, u and t? are known. Obtain the Bayes estimator for 6
under (i) squared error loss function and (ii) absolute error loss function. 15
(co) क्रमबद्ध प्रायिकता अनुपात परीक्षण (SPRT) का वर्णन कीजिये। प्वासों 6) से लिये गये यादृच्छिक Yet से
Ho: 690 विरुद्ध Hy: 9 > 6 के परीक्षण के लिए SPRT ज्ञात कीजिये। इस परीक्षण के लिये प्रचालन
अभिलक्षण फलन (OC function) भी ज्ञात कीजिये।
Describe sequential probability ratio test (SPRT). Find the SPRT for testing
Hy: 9 न 90 against H,: 6 नणि, using random observations from Poisson (8). Also
find the OC function for the test. 15
KVMS-P-STS/21 8
5. (a)
(b)
(५
(d)
(e)
खण्ड--छ / SECTION—B
माना Y,, Yo, ---, Y, एक समष्टि, जिसका माध्य p तथा प्रसरण ठ * है, से n स्वतन्त्र प्रेक्षण हैं। ॥, का सर्वोत्तम
रेखीय अनभिनत आकलक तथा o? का द्विघातीय अनभिनत आकलक ज्ञात कीजिये।
Let Yj, Yo, --+, Y, be n independent observations from a population with mean |.
and variance o”. Obtain the best linear unbiased estimator of | and an
unbiased quadratic estimator for o7.
विविक्तकर विश्लेषण में वर्गीकरण समस्या को समझाइये। दो ज्ञात बहुचर प्रसामान्य समश्टियों के लिए फिशर के
विविक्तकर फलन को परिभाषित कीजिये तथा नीचे दिये गये आँकड़ों के लिए इसकी गणना कीजिये :
24 18 9-5
ae (2) (18) oon ye
थी (ia) थी (7) 2-5 8
Explain the problem of classification in discriminant analysis. In case of two
known multivariate normal populations, define Fisher’s discriminant function
and calculate it for the data given below :
24 18 9 -5
@ _ (2) — =
नदी लिन) रन
गॉस-मार्कोव रेखीय प्रतिरूप ऋ = X B+u की छ(इ) न तथा 2) न हे के प्रसरण एवं
nxl हाफ छा ला
सह-प्रसरण आव्यूह = ० “7 के साथ विवेचना करते हुए feared कि
E[¥’{I- X(X’X) 1X} Y]=07(n- p)
Discussing Gauss-Markov linear model Y = X {6+ u_ with E(¥Y)=Xp
nxl NXP pxi nxl1
and D(¥) = variance and covariance matrix of ¥ =o7J, show that
E[¥{I-X(X'X) |X} Y]=07(n-p
पुनःस्थापनरहित सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श (SRSWOR) के प्रतिदर्श माध्य के प्रसरण को व्युत्पन्न कीजिये।
Derive the variance of the sample mean under simple random sample without
replacement (SRSWOR).
एक समष्टि तीन स्तरों में विभाजित की जाती 21 समष्टि से निम्नलिखित आँकड़े लिये गये हैं :
स्तर रद Ss? Ch
h
1 200 25 4
2 300 36 9
3 500 49 16
(9 आनुपातिक नियतन तथा (ii) seca नियतन के अन्तर्गत प्रत्येक स्तर के लिए प्रतिदर्श आमाप ज्ञात कीजिये,
जबकि कुल प्रतिदर्श आमाप 100 है।
10
10
10
10
KVMS-P-STS/21 9 Ee ES
A population is divided into three strata. The following data are taken from the
population :
Stratum N, s? Ch
h
1 200 25 4
2 300 36 9
3 500 49 16
Determine the sample size for each stratum for a total sample of size
100 under (i) proportional allocation and (ii) optimum allocation.
6. (a) माना 1, प्राचलों f,, Bo, --, B, का कोई आकलनीय रैखिक फलन है। तब सिद्ध कीजिये कि--
(9. यादृच्छिक चरों Y,, Yo, «**, ४, का एक एकल रेखीय फलन ८ ४ का मान अस्तित्व में इस प्रकार है
कि ce V(A’) तथा छ (८ ४) न (9, जहाँ VA), A’ की पंक्ति सदिशों द्वारा जनित सदिश समष्टि है
तथा E(¥) = AB;
(ij) ८' ४ का प्रसरण किसी अन्य रेखीय अनभिनत आकलक के प्रसरण से कम है।
Let हि be any estimable linear function of parameters B,, Bo, ---, B,. Then prove
that—
(i) there exists a unique linear function e’Y of random variables
Y,, Yo, "५ Y, such that e€ V(A’) and E (e’ Y) =U’, where V(A’) is the vector
space generated by row vectors of A’ and E(Y) = AB;
(ii) variance of ८ Y is less than the variance of any other linear unbiased
estimator.
(b) माना X,,Xo,--, Ky, Np(u, 22) से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श 21 दिखाइये कि Hy: =o विरुद्ध
Hy: ॥ ८0 के परीक्षण के लिए होटलिंग का 7? -प्रतिदर्शन Hy : ॥ न 0 विरुद्ध झा, : ॥ # 0 के परीक्षण
के लिए एक-चरीय /-प्रतिदर्शन का सामान्यीकरण है। Hy: ॥ (5) के परीक्षण के लिए 7? -प्रतिदर्शन की
गणना नीचे दिये गये एक द्विचरीय vers बंटन से लिये गये आँकड़ों के आधार पर कीजिये :
6 9
X=|10 6
8 3
KVMS-P-STS/21 10
10
20
Let X,, Xo, Xy be arandom sample from N,,(u, 22). Show that Hotelling’s
T?-statistic for testing Hp: u=uy against H,;:"#po is a generalization of
t-statistic for testing Hp: =~ against H,:4#p 9 in the univariate case.
9
Calculate T?-statistic for testing Ho: py -(3) on the basis of the data taken
from a bivariate normal distribution given below :
6-9
X=!|10 6
8 3 15
() एकल चर पर लम्बकोणीय बहुपद प्रतिगमन की विवेचना उसके मुख्य लाभों के साथ कीजिये।
Discuss orthogonal polynomial regression on a single variable along with its
principal advantages. 15
7. (a) () . क्रमबद्ध प्रतिचयन के अन्तर्गत समष्टि माध्य का आकलक दीजिये तथा इसका प्रसरण अन्तःवर्ग सहसम्बन्ध
गुणांक के पदों में व्युत्पन्न कीजिये।
Give an estimate for the population mean under systematic sampling and
derive its variance in terms of the intraclass correlation coefficient. 10
(ii) इस आकलक की दक्षता पर अन्तःवर्ग सहसम्बन्ध के प्रभाव की चर्चा कीजिये।
Discuss the effect of intraclass correlation on the efficiency of this
estimator. 5
(8) _ निम्नलिखित आँकड़े एक दो-कारक यादृच्छिक प्रभाव वाले प्रतिरूप से हैं :
Pw B B, B, B,
कारक A
ee 10 14
Ay
8 12 16
12 16 20
Ag
14 18 22
@ दिया है कि प्रयोग करने वाला सशंकित है कि दोनों कारक परस्पर प्रभावित हो सकते हैं, उपर्युक्त आँकड़ों के
लिए सभी मान्यताओं के साथ रैखिक प्रतिरूप लिखिये।
(i) परिकल्पना को स्पष्ट रूप से लिखते हुए मुख्य प्रभावों तथा परस्पर प्रभावों का परीक्षण प्रसरण विश्लेषण की
पूर्ण सारिणी के साथ उपर्युक्त आँकड़ों का उपयोग करते हुए कीजिये।
KVMS-P-STS/21 11 [ P.T.O.
The following data come from a two-factor random effect model :
Pee B
‘actor B, B, B;
Factor A
of 10 14
Ay
8 12 16
12 16 20
Ap
14 18 22,
(i) Given that the experimentor suspects interaction, write the linear model
stating all the assumptions for the above data.
(ii) Clearly stating the hypothesis, carry out the tests for the main effects and
interactions giving the complete ANOVA table for the above data.
5+15=20
(c) एक संतुलित अपूर्ण खण्डक अभिकल्प (BIBD) के प्राचल हैं v=4 (कारक), b=6 (WSK), r=3
(प्रतिकृति प्रत्येक कारक की), k > 2 (खण्डक आमाप), 9. > 1. निम्नलिखित समायोजित उपचार (या कारक)
योग (खण्डक प्रभाव को हटाकर) इस प्रकार दिए गए हैं : Q, =12, 0८ न 8, 0५ न 4 तथा 04 न 0. दी
हुई mea वर्ग त्रुटि > 2-5.
() सत्यापित कीजिये कि यह एक विधिमान्य BIBD है।
(ii) STAR प्रभावों एवं उनके प्रसरणों का आकलन कीजिये।
(ii) Fa BIBD के दक्षतांक को यादृच्छिक पूर्ण खण्डक अभिकल्प के सापेक्ष उसी प्रतिकृति संख्या के साथ ज्ञात
कीजिये।
A balanced incomplete block design (BIBD) has parameters ए = 4 (treatments),
b=6 (blocks), r=3 (replicates per treatment), k=2 (block size), A=1. The
following adjusted treatment totals (after removing block effects) are given as
Q, =12, 0८ न 8, 05 =4 and Q, =0. The MSE is given as 2:5.
(@) Verify if this is a valid BIBD.
(ii) Estimate the treatment effects and their variances.
(iii) Compute the efficiency factor of this BIBD relative to a randomized
complete block design with the same number of replications.
54+5+5=15
KVMS-P-STS/21 12
oot Gt tet 6€T OFT CST ८511. ८91. SLT ६81. 881 6 10% Olt Tt LET 09% OOE EE si
stt S€T ert SGI sgt 9T 991 SLT E€8T I6T 961 ZZ 60% LIZ 60% ShZ 89% LOE CE OZ
6et ८7. est 6ST SOT OLT SLT P8l ZT GOT 0% OLT LIZ STZ LET EST OLZ SIE 00% 09
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49T Lt 6LT b8T 88 e6T LOT 90% ELC OFF SZ Tet LET MFT LOZ ELT 96८. SEE Tob Lz
6911 SLT O8T SBT O61 S6T 66T LOZ STZ CE L0% CZ 6EZ LHe 6ST PLE BOT LEE Cb 9%
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9&b Obb Ebb Ob OS ESP ISb Cb B9b bb LLb Wr BB8b S6b SOS 6IS IPS 64'S 199 s
evs 99S 69S ८८5. 5८5. LLS O8S 98S I6S 96S 009 +109 609 919 979 689 659 69 ITLL b
ess sss L498 698 798 +98 998 O18 +48 648 I88 S88 688 +68 106 ZI6 826 ५56 E€T'0T ६
0561 661. हाहि6ा. Lb6I 9४6. Sbh6l 5४6. EPG (6. Ob6I 8६61. ८६७61 5६6 ६६61 0६61 SZ6I 916. 006 158 ट
६४५८ ६६५८ ठ ८9८ L'ISt [05८ L6bS O'BbT GST GET OIbT 50४८ GO BET 89६ठ 0१६८ TOET YZ LSIZ S66I शोा9 I
=. Ozt 09 Ov 0६ ve 0z ST er or 6 8 Z 9 s > & 4 T la
(fa) soyexouMN oy} 10} Wopasry Jo 999०0 Ta
fa
Iq ‘S007
UOTNALYSIG-4 94} Jo sjulog adeyUs0I0g
[ P.T.O.
13
KVMS-P-STS/21
8. (2) बहुचरीय प्रसामान्य बंटन को परिभाषित कीजिये तथा इसके महत्त्वपूर्ण गुणधर्म लिखिये। माना X,, Xo, X3
तथा X, परस्पर स्वतन्त्र यादृच्छिक सदिश हैं, SN, (॥, L) का अनुसरण करते हैं। तब
; 1 1 1 1
i) W,=—X,-—X,+—X,--X
(y 1 4 1 4 2 4 3 4 4
कि 1 1 1 1
(i) Wy = 7%) +, X2—7Xs-Z Xa
का सीमान्त बंटन ज्ञात कीजिये। यादृच्छिक सदिशों W, तथा छा, का संयुक्त बंटन भी ज्ञात कीजिये।
Define multivariate normal distribution and write down its important
properties. Let X,, उ ०, X3 and X, are mutually independent random vectors
following N,,(u, x). Then find the marginal distributions of
i) 1 1 1 1
i) W, =—X, -—X,+—-X,--X
Wim gM g ha ty Xa ges
ss 1 1 1 1
ii) W, =—X,+—X,-—X3-—-X
(i) Wa =7% +7 Xo - 7 Ks 7X
Also obtain the joint distribution of random vectors W, and Wp). 20
(b) एक N=4 की समष्टि में इकाइयों के मान Z y, =10, yo =20, y3 =30 तथा y, =40. एक n=2
आकार के पुनःस्थापना रहित प्रतिदर्श पर विचार कीजिये, जिसमें सम्मिलित होने की प्रायिकता, इकाई के लिए
उसके आकार x, के समानुपाती है, जहाँ x, =1, xq न 2, xg न 3, x4 न 4. समावेशी प्रायिकताओं को
लिया जाता है
Tj met i=12,3,4
t
(i) मान लीजिये प्रतिचयनित प्रतिदर्श है (2, 4}. हॉरविट्ज-थॉम्पसन आकलक से, समष्टि योग को आकलित
कीजिये।
(i) fen है कि इकाई 2 एवं 4 के लिए संयुक्त समावेशी प्रायिकता है 7:24 =0-3, तब हॉरविट्ज-धॉम्पसन
आकलक का प्रसरण ज्ञात कीजिये तथा उसके ऋणात्मक प्रसरण आकलक की सम्भावना पर टिप्पणी
कीजिये।
A population of N =4 units has values y, न 10, yp न 20, y3 न 30 and y4 न 40,
Consider a sample of size n=2 without replacement with inclusion
probabilities proportional to a size measure x;, where x, =1, x2 =2, x3 =3,
X4 =4. The inclusion probabilities are taken as
nx;
Tl; = ; 1=1, 2,3, 4
i
Xj
(i) Suppose the selected sample is {2, 4}. Using Horvitz-Thompson estimator,
estimate the population total.
(ii) Given the joint inclusion probabilities 1, =0-3 for units 2 and 4, estimate
the variance of Horvitz-Thompson estimator and comment on the
possibility of negative variance estimate. 7+8=15
KVMS-P-STS/21 14
() @ पूर्ण संकरण एवं आंशिक संकरण में अन्तर स्पष्ट कीजिए।
Distinguish between complete confounding and partial confounding. 5
(i) उदाहरण देकर स्पष्ट कीजिये कि एक 2“ -बहुउपादानी प्रयोग का 2 प्रतिकृतियों के साथ 22 खण्डकों में
आंशिक संकरण आप कैसे करेंगे, जिससे कोई भी मुख्य प्रभाव संकरित न हो। प्रत्येक प्रतिकृति में संकरित
प्रभाव का उल्लेख कीजिये।
Illustrate how you will partially confound a 2*-factorial experiment into
2? blocks in 2 replicates with no main effects confounded. State the
confounded effects in each replicate. 10
kkk
KVMS-P-STS/21 15 SB27—42