QP-CSM-26-010926-Optional-MATHEMATICS-PAPER II

KVMS-B-MTC गणित / MATHEMATICS प्रश्न-पत्र II / Paper II निर्धारित समय : तीन घंटे Civil Services (Main) अधिकतम अंक : 250 Time Allowed : Three Hours Examination, 2026 Maximum Marks : 250 प्रश्न-पत्र सम्बन्धी विशेष अनुदेश कृपया प्रश्नों के उत्तर देने से पूर्व निम्नलिखित प्रत्येक अनुदेश को ध्यानपूर्वक पढ़ें : इसमें आठ प्रश्न हैं जो दो खण्डों में विभाजित हैं तथा हिन्दी और अंग्रेज़ी दोनों में छपे हुए हैं | परीक्षार्थी को कुल पाँच प्रश्नों के उत्तर देने हैं | प्रश्न संख्या 1 और 6 अनिवार्य हैं तथा बाकी प्रश्नों में से प्रत्येक खण्ड से कम-से-कम एक प्रश्न चुनकर किन्हीं तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए | प्रत्येक प्रश्न/भाग के अंक उसके सामने दिए गए हैं | प्रश्नों के उत्तर उसी प्राधिकृत माध्यम में लिखे जाने चाहिए जिसका उल्लेख आपके प्रवेश-पत्र में किया गया है और इस माध्यम का स्पष्ट उल्लेख प्रश्न-सह-उत्तर (क्यू, सी.ए.) पुस्तिका के मुख पृष्ठ पर निर्दिष्ट स्थान पर किया जाना चाहिए | प्राधिकृत माध्यम के अतिरिक्त अन्य किसी माध्यम में लिखे गए उत्तर पर कोई अंक नहीं मिलेंगे । यदि आवश्यक हो, तो उपयुक्त आँकड़ों का चयन कीजिए तथा उनको निर्दिष्ट कीजिए | जब तक उल्लिखित न हो, संकेत तथा शब्दावली प्रचलित मानक अर्थों में प्रयुक्त हैं । प्रश्नों के उत्तरों की गणना क्रमानुसार की जाएगी | यदि काटा नहीं हो, तो प्रश्न के उत्तर की गणना की जाएगी चाहे वह उत्तर AA: दिया गया हो । प्रश्न-सह-उत्तर (क्‍्यू.सी.ए.) पुस्तिका में खाली छोड़ा हुआ पृष्ठ या उसके अंश को स्पष्ट रूप से काटा जाना चाहिए | Question Paper Specific Instructions Please read each of the following instructions carefully before attempting questions : There are EIGHT questions divided in TWO SECTIONS and printed both in HINDI and in ENGLISH. Candidate has to attempt FIVE questions in all. Questions no. 1 and 5 are compulsory and out of the remaining, any THREE are to be attempted choosing at least ONE question from each section. The number of marks carried by a question / part is indicated against it. Answers must be written in the medium authorized in the Admission Certificate which must be stated clearly on the cover of this Question-cum-Answer (QCA) Booklet in the space provided. No marks will be given for answers written in a medium other than the authorized one. Assume suitable data, if considered necessary, and indicate the same clearly. Unless otherwise mentioned, symbols and notations carry their usual standard meanings. Attempts of questions shall be counted in sequential order. Unless struck off, attempt of a question shall be counted even if attempted partly. Any page or portion of the page left blank in the Question-cum-Answer (QCA) Booklet must be clearly struck off. KVMS-B-MTC 1 खण्ड A SECTION A Ql. (a) माना कोटि pq का एक समूह (9 है, जहाँ p और g अभाज्य हैं । दर्शाइए कि या तो (3 एक आबेली समूह है या कोई भी अतत्समक (नॉन-आइडेन्टिटी) अवयव, (५ के प्रत्येक अवयव से क्रमविनिमेय नहीं करता | Let G be a group of order pq, where p and q are primes. Show that either G is an abelian group or no non-identity element commutes with every element of G. 10 (७)... दर्शाइए कि यूक्लिडीय प्रांत में प्रत्येक शून्येतर अभाज्य गुणजावली उच्चिष्ठ है। Show that every non-zero prime ideal in a Euclidean Domain is maximal. 10 n [1+sin™ | -1 (ec) f(x) = lim बन, दम € (0, 1) द्वारा परिभाषित Ge: (0, 1) OR® n-00 . 1 n l+sin—} +1 x असांतत्य बिंदु ज्ञात कीजिए | Find the points of discontinuity of the function f : (0, 1) > R defined by n [1+sin”] -1 f(x) = lim “नाश ८ (0, 1). 10 —_ 1+sin™| +1 x (ad) दर्शाइए कि फलन f(z) = [xy | मूल-बिंदु पर विश्लेषिक नहीं है, जबकि इस बिंदु पर कौशी-रीमान समीकरण संतुष्ट होते हैं । Show that the function f(z) = vixy] is not analytic at the origin, although Cauchy-Riemann equations are satisfied at that point. 10 KVMS-B-MTC 2 (ce) निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैत समस्या को ग्राफीय विधि से हल कीजिए : न्यूनतमीकरण कीजिए ४ = 10] + 6फ् 9 + 2प्8 + y4 निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत : Yi + YotY3gtyq4 22 2¥1+Yo-Y3-2y4 21 Y1 Yo: Yq, 4 20 Solve the dual problem of the following linear programming problem by the graphical method : Minimize Y = 10y, + 6y + 2y3 + ¥4 subject to the constraints : Yy+Yotygty4 22 2y1 + Yog-Y3- 24 >1 उप Yo, 3, ¥4 20 10 Q2. (a) माना कोटि 2 के दो अवयवों u और v से जनित एक परिमित समूह (५ है | दर्शाइए कि G, 20 कोटि के fader समूह के तुल्याकारी है, जहाँ 0(प४) = nz Let G be a finite group generated by two elements u and v of order 2 each. Show that G is isomorphic to the dihedral group of order 2n, where O(uyv) =n. 15 (bo) fre कीजिए कि प्रतिवर्तन aa u,,, = /7+u,, u,= V7, द्वारा परिभाषित ser (u,), समीकरण x” — x — 7 = 0 के धनात्मक मूल पर अभिसरित होता है। Prove that the sequence (u,) defined by the recursion formula Up41 = J7+u, 3 पु न V7, converges to the positive root of x°-x-7=0. 15 KVMS-B-MTC 3 (c) rec समाकलन विधि के उपयोग से सिद्ध कीजिए कि यदि a > b > 0 है, 2n तो sin“ 9 0 = <5 fava? 07} है। 8+ 0 0059 Use the method of contour integration to prove 27 2 ड़ nS d0 = विन ab? ifa>b>0. 20 a+bcos0 b2 0 Q3. (६४)... सिद्ध कीजिए कि cosh (2-42) = ag + 3 an [2 + है, n=1 2n जहाँ 0 = 0, 1, 2, ... के लिए a, = | cos nO cosh (2 cos 0) dO है। Tt Prove that Z where 2n a= 3 | cos n@ cosh (2 cos 9) dO, forn = 0, 1, 2,.... 15 Tt (b) अंतराल [0, 1] पर एक फलन f(x) = 1 जब x परिमेय है ४, sax अपरिमेय है द्वारा परिभाषित है। 1 1 1 निम्न समाकल | और उच्च समाकल [ f का मूल्यांकन कीजिए | क्या समाकल [fT 0 0 0 अस्तित्व है ? A function f is defined on [0, 1] by f(x) = ( , when xis rational x3, when x is irrational 1 1 Evaluate lower integral } f and upper integral || f. Does the integral 1 0 0 J f exist ? 20 0 KVMS-B-MTC 4 (८)... निम्नलिखित सारणी कार्यों को मशीनें नियत करने पर अनुमानित लागत निरूपित करती है | कुल लागत को न्यूनतम करने के लिए इस नियतन समस्या को हल कीजिए। मशीन M, Ma, Mg My, J, | 8 24 28 32 am J, | 8 13 17 = 19 dg & 15. 19. 22 क्या कुल न्यूनतम लागत के लिए नियतन अद्वितीय है? अपने उत्तर का तर्क दीजिए और एक वैकल्पिक (alternate) नियतन, यदि इसका अस्तित्व है, प्राप्त कीजिए | The following table represents the estimated costs of assigning jobs to machines. Solve this assignment problem to minimize the total cost. Machine M, My Mg Mg J, | 8 24 28 32 Job Jy | 8 13 17° 19 Jg | 8 15 19 22 Is the assignment unique for the total minimum cost ? Justify your answer and obtain an alternate assignment, if it exists. 15 Q4. (8)... माना n एक धनात्मक पूर्णांक है । दर्शाइए कि निम्नलिखित कथन तुल्य हैं : (0... थ/02 एक पूर्णाकीय प्रांत है। Gi) Z/nZ एक क्षेत्र है। Gii) on अभाज्य है। KVMS-B-MTC 5 Let n be a positive integer. Show that the following statements are equivalent : (i) Z/nZ is an integral domain. (ii) Z/nZ is a field. (ii) nis prime. 15 foo} (b) सिद्ध कीजिए कि अनंत समाकल || dx अपसारी है। 1+x? sin? x 00 1 2 दर dx is divergent. 15 1+x* sin* x Prove that the improper integral || (८)... निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को एकधा विधि से हल कीजिए : अधिकतमीकरण कीजिए Z = 4x, + 10x, निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत 2x, + रह. < 10 2x1 + 5x5 < 20 2x1 + 3xq < 18 Xy, X20 व्याख्या सहित, एक वैकल्पिक (alternate) इष्टतम हल, यदि इसका अस्तित्व है, प्राप्त कीजिए | Solve the following linear programming problem by the Simplex method : Maximize Z = 4x, + 10x, subject to the constraints 2x1 + Xo < 10 2x1 + 5x5 < 20 2x1 + 3x9 < 18 X1,X_20 Obtain an alternate optimal solution, if it exists, with explanation. 20 KVMS-B-MTC 6 Q5. (8) (b) (८) खण्ड छ SECTION B समीकरणों SX _ ay 8 का समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए। XZ-y yz-x 1-2 समीकरण Find the integral surface of the equations dx = dy = dz z° 10 XZ-Yy yz-x 1-2 न्यूटन-रैफ्सन पुनरावृत्ति सूत्र के उपयोग से, N का घनमूल ज्ञात करने के लिए सूत्र [5६ + 3) को प्रमाणित कीजिए | Xj wile X41 = प्रमाणित होने पर, इस सूत्र के उपयोग से, प्रारंभिक सन्निकटन 3.9 लेकर, 63 का घनमूल दशमलव के चार स्थानों तक सही ज्ञात कीजिए | By using the Newton-Raphson iterative formula, establish the formula Xiu = ; [2x + x] to find the cube root of N. i Use this formula, if established, to find the cube root of 63 correct to four decimal places with the initial approximation 3-9. 10 निम्न तर्क परिपथ L का विचार कीजिए : A + B c = ¥ VOU \ (0... ४ को बूलीय व्यंजक के रूप में अभिव्यक्त कीजिए | Gi) A, 8 और 0 के लिए 8-बिट विशिष्ट अनुक्रम लिखिए | (पं) 8-बिट विशिष्ट अनुक्रमों के उपयोग से L की सत्यमान सारणी ज्ञात कीजिए | KVMS-B-MTC 7 Consider the logic circuit L : A B AND nina Cc a= a, —— (i) Express Y as a Boolean expression. (ii) | Write 8-bit special sequences for A, B and C. (iii) Find the truth table of L using 8-bit special sequences. 10 @) असंपीड्य तरल का वेग Ui की एक एकसमान धारा में मूल-बिंदु 0) पर एक m प्रबलता का सरल स्रोत स्थित है। धारा के किसी बिंदु Poe वेग विभव 0 ज्ञात कीजिए, जहाँ OP = 7 और 0 वह कोण है जो OP, $ की दिशा से बनाता है | धारा रेखाओं के अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि वे पृष्ठ Ur’ sin?0-2mcos0=3 पर स्थित है। A simple source of strength m is fixed at the origin 0 in a uniform stream of incompressible fluid moving with velocity ui . Find out the velocity potential » at any point P of the stream where OP = r and 0 is the angle OP makes with the direction i Find the differential equation of the stream lines and show that they lie on the surface Ur? sin? 6 - 2 m cos 8 = constant. 10 (ec) त्रिज्या ‘a का एक एकसमान भारी ठोस अर्धगोला विरामावस्था की स्थिति में रखा है जबकि इसका आधार ऊर्ध्वाधर है और इसका वक्र पृष्ठ एक Aft समतल के संपर्क में है ale अर्धगोले को मुक्त (रिलीज़) किया जाता है, जब समतल इतना wat है कि फिसलन को रोक सके, तो दर्शाइए कि ६ समय पर कोण 0, जो अर्धगोले का आधार क्षैतिज से बनाता है, इस प्रकार है कि [डी _ 15 g cos 0 dt a (28-15 cos 9) KVMS-B-MTC 8 A uniform heavy solid hemisphere of radius ‘a’ is held at rest with its base vertical and its curved surface in contact with a horizontal plane. If the hemisphere is released when the plane is rough enough to prevent slipping, show that the angle 0 that the base makes with the horizontal a 15 g cos 0 = —e- 10 a (28-15 cos 9) at time t, is such that (2) आंशिक az az 672 में Q6. (a) आंशिक अवकल समीकरण Ya +(x+y) +x—5 = 0 को fated रूप में समानीत Ox oy oy कीजिए और तब इसे हल AST | a 2 2) a 2, Reduce the partial differential equation yt (x+y) 2 ee x to canonical form and hence solve it. 20 (ob) () ... निम्नलिखित चल (फ्लोटिंग) बिंदु 10-द्रयंक (बिट) संख्याओं के दशमलव तुल्यांक ज्ञात कीजिए, जिनमें 5 gaan भिन्न भाग हों : 1010111011 और 0100101010 Find the decimal equivalent of the following floating point 10-bit numbers with 5 bits as fractional part : 1010111011 and 0100101010 & (i) (11001.1011), + (33.24)g + (101101), का मूल्यांकन कीजिए और अंतिम परिणाम को षोडश आधारी (हैक्साडेसिमल) पद्धति में बदलिए | Evaluate (11001.1011)10 + (33.24)g + (101101), and convert the final result in hexadecimal system. 7 (८)... माना त्रिज्या ‘ao’ के एक अनंत लंबे बेलन को वेग -ए $ की एक एकसमान धारा में रखा गया है । मिलने-थॉमसन के वृत्त प्रमेय के उपयोग से इसका सम्मिश्र वेग विभव क्या होगा ? इसके अतिरिक्त, यदि बेलन के परित: kk का एक परिसंचरण उत्पन्न किया जाता है, तो प्रगतिरोध बिंदु ज्ञात कीजिए | कया वे ऊर्ध्वाधर दिशा में उत्थापन प्रवृत्ति उत्पन्न करते हैं ? व्याख्या कीजिए कि कैसे | Suppose that there is an infinitely long cylinder of radius ‘a’ placed in a uniform stream having velocity -vi. Then using Milne-Thomson’s circle theorem, what will be its complex velocity potential ? If in addition, a circulation round the cylinder of k is produced, find out the stagnation points. Do they produce a lifting tendency in the vertical direction ? Explain how. 15 KVMS-B-MTC 9 Q7. (a) (b) (c) आंशिक अवकल समीकरण (2D? - 5DD’ + 2D) z = 24 (y — x) + sin (y-x) को हल कीजिए, जहाँ D = a D'= # Z = 2x, ye Ox oy Solve the partial differential equation (2D? - 5DD' + 2D”) z = 24 (y —x) + sin (y —x) where 0 न a DF we Ss, cule, 9. 15 ox oy 08 सिम्प्सन के : नियम को एक बार उपयोग कर समाकल || f(x) dx का मूल्यांकन कीजिए, जहाँ 0 f(x) = 0-2 + 25x - 200x? + 675x° - 900x* + 4007 है। 0-8 Evaluate the integral | f(x) dx, 0 where f(x) = 0-2 + 25x — 200x” + 675x® — 900x* + 400x° by using single application of Simpson’s : rule. 15 2a लंबी और m द्रव्यमान की एक चिकनी एकसमान Ss, माना OA, का एक सिरा एक निश्चित बिंदु 0 पर धुराग्रस्थ (पिवटिड) है । छड़ नीचे की ओर Heater रेखा OZ से 0 कोण पर झुकी हुई है और wade OAZ, एक निश्चित ऊर्ध्वाधर समतल से कोण ५ बनाती है । Am द्रव्यमान का एक मनका छड़ पर निर्विध्न (स्मूथली) फिसलता है और nmg मापांक (मॉड्यूल्स) और प्राकृतिक लंबाई a की एक हल्की प्रत्यास्थ डोरी के द्वारा 0 से जुड़ा है । दर्शाइए कि इस तंत्र (सिस्टम) की गतिज ऊर्जा T, 2T = sma” (6? + 2 sin 0) + Am (x? +x767 4 x76? sin? 0) द्वारा दी जाती है, जहाँ x डोरी की तनी हुई (स्ट्रेच्ड) लंबाई है, और गति के समीकरण व्युत्पनन कीजिए | A smooth uniform rod, say OA, of length 2a and mass m is pivoted at one end to a fixed point O. The rod is inclined at an angle 0 with the downward vertical line OZ and the plane OAZ makes an angle with a fixed vertical plane. A bead of mass im slides smoothly on the rod and is connected to O by a light elastic string of modulus nmg and natural length a. Show that the kinetic energy T of the system is given by 2T = Sma” (67 4 4 sin 0) + Am (x7 + x67 4 x76? sin” 0), where x is the stretched length of the string, and derive the equations of motion. 20 KVMS-B-MTC 10 Q8. (a) aati ध्रुवीय निर्देशांकों (r, 6) में द्विविमीय प्रसंवादी (हार्मोनिक) समीकरण निम्न रूप लेता है : av 16४ . 1 ०59 धक्का Se शमी) ar? ror कु a0? निगमन कीजिए कि इसके हल का रूप (Ar” + Br®) eB जहाँ A, 8, 0 अचर हैं । V ज्ञात कीजिए यदि यह क्षेत्र 0 < 7 < 8, 0 < 0 < 2 में द्विविमीय प्रसंवादी समीकरण को संतुष्ट करता है और शर्तों : @ 7->0 पर ४ परिमित रहता है, (i) रन 8 पर ए न 3! ce, ००8 (00) है n को संतुष्ट करता है | Two-dimensional harmonic equation in plane polar coordinates (r, 9) takes the form : ev 108 1eVv —~+-—+ 5, = 0 ar? or Ory? 20% Deduce that it has solutions of the form (Ar™ + Br”) e 7ine where A, B, n are constants. Determine V if it satisfies the two-dimensional harmonic equation in the region 0 < r < a, 0 < 0 < 2x and satisfies the conditions : (i) V remains finite as r > 0, Gi) Ve= > c, 008 (009) on r =a. 15 n (b) प्रारंभिक मान समस्या & =1+2, y=1, h=1 (पग-माप) का विचार Fife I x x () —-y(2) का सन्निकट मान प्राप्त करने के लिए चिरप्रतिष्ठित चतुष्कोटि रूंगे-कुट्टा विधि का उपयोग कीजिए | Gi) -y(2) और y(3) के मान ज्ञात करने के लिए ऑयलर विधि का उपयोग कीजिए | Consider the initial value problem : dy =1+ La y(1) = 1, ॥ न 1 (Step-size) dx x (i) Apply the classical fourth order Runge-Kutta method to approximate the solution y(2). (ii) | Use Euler’s method to find y(2) and y(3). 15 KVMS-B-MTC 11 (c) त्रिज्या 8, b (b > 80 के दो संकेंद्री बेलनों के बीच एक श्यान असंपीड़्य तरल भरा है । प्रवाह अपरिवर्ती है और कोई भी पिंड बल विचाराधीन नहीं है | तरल के वेग की विवेचना और इसे सुत्रित कीजिए यदि : @ = आंतरिक बेलन को कोणीय वेग (2 दिया जाता है जबकि बाहरी बेलन को विरामावस्था में रखा जाता है; Gi) बाहरी बेलन को कोणीय वेग ८2 से घुमाया जाता है जबकि आंतरिक बेलन को विरामावस्था में रखा जाता है। A viscous incompressible fluid is filled between two concentric cylinders of radius a, b (b > a). The flow is steady and no body forces are taken into consideration. Discuss and formulate the velocity of the fluid if : (i) the inner cylinder is given angular velocity Q while the outer one is held at rest; (ii) the outer cylinder is rotated with angular velocity Q while the inner one is held at rest. 20 KVMS-B-MTC 12