SECTION D - QUANTITATIVE APTITUDE - CHAPTER 9

(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:8)(cid:10) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:3)(cid:11)(cid:6)(cid:12) (cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:8)(cid:14)(cid:8)(cid:7)(cid:10)(cid:4)(cid:2)(cid:15) (cid:2)(cid:7)(cid:13) (cid:4)(cid:7)(cid:10)(cid:8)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15) (cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) LLLLLEEEEEAAAAARRRRRNNNNNIIIIINNNNNGGGGG OOOOOBBBBBJJJJJEEEEECCCCCTTTTTIIIIIVVVVVEEEEESSSSS After studying this chapter, you will be able to: (cid:1) Understand the basics of differentiation and integration; (cid:1) Know how to compute derivative of a function by the first principle, derivative of a: function by the application of formulae and higher order differentiation; (cid:1) Appreciate the various techniques of integration; and (cid:1) Understand the concept of definite integrals of functions and its properties. IIIIINNNNNTTTTTRRRRROOOOODDDDDUUUUUCCCCCTTTTTIIIIIOOOOONNNNN TTTTTOOOOO DDDDDIIIIIFFFFFFFFFFEEEEERRRRREEEEENNNNNTTTTTIIIIIAAAAALLLLL AAAAANNNNNDDDDD IIIIINNNNNTTTTTEEEEEGGGGGRRRRRAAAAALLLLL CCCCCAAAAALLLLLCCCCCUUUUULLLLLUUUUUSSSSS (((((EEEEEXXXXXCCCCCLLLLLUUUUUDDDDDIIIIINNNNNGGGGG TTTTTRRRRRIIIIIGGGGGOOOOONNNNNOOOOOMMMMMEEEEETTTTTRRRRRIIIIICCCCC FFFFFUUUUUNNNNNCCCCCTTTTTIIIIIOOOOONNNNNSSSSS))))) (((((AAAAA))))) DDDDDIIIIIFFFFFFFFFFEEEEERRRRREEEEENNNNNTTTTTIIIIIAAAAALLLLL CCCCCAAAAALLLLLCCCCCUUUUULLLLLUUUUUSSSSS 99999.....AAAAA.....11111 IIIIINNNNNTTTTTRRRRROOOOODDDDDUUUUUCCCCCTTTTTIIIIIOOOOONNNNN Differentiation is one of the most important fundamental operations in calculus. Its theory primarily depends on the idea of limit and continuity of function. To express the rate of change in any function we introduce concept of derivative which involves a very small change in the dependent variable with reference to a very small change in independent variable. Thus differentiation is the process of finding the derivative of a continuous function. It is defined as the limiting value of the ratio of the change (increment) in the function corresponding to a small change (increment) in the independent variable (argument) as the later tends to zero. 99999.....AAAAA.....22222 DDDDDEEEEERRRRRIIIIIVVVVVAAAAATTTTTIIIIIVVVVVEEEEE OOOOORRRRR DDDDDIIIIIFFFFFFFFFFEEEEERRRRREEEEENNNNNTTTTTIIIIIAAAAALLLLL CCCCCOOOOOEEEEEFFFFFFFFFFIIIIICCCCCIIIIIEEEEENNNNNTTTTT Let y = f(x) be a function. If h (or ∆x) be the small increment in x and the corresponding increment in y or f(x) be ∆y = f(x+h) – f(x) then the derivative of f(x) is defined f(x+h)-f(x) as = lim i.e. h h→0 f(x+∆x)−f(x) = lim ∆x→0 ∆x d This is denoted as f’(x) or dy/ dx or f(x). The derivative of f(x) is also known as dx differential coefficient of f(x) with respect to x. This process of differentiation is called the first principle (or definition or abinitio). NNNNNooooottttteeeee::::: In the light of above discussion a function f (x) is said to differentiable at f(x)-f(c) lim x = c if exists which is called the differential coefficient of f(x) at x = c and is h→c x-c (cid:10)(cid:11)(cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India dy denoted by f ‘(c) or  . dx x=c We will now study this with an example. Consider the function f(x) = x2. By definition d f(x+∆x)−f(x) (x+∆x)2 −x2 x2 +2x∆x+(∆x)2 −x2 f(x)= lim = lim = lim dx ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim (2x+∆x)=2x+0=2x = ∆x→0 Thus, derivative of f(x) exists for all values of x and equals 2x at any point x. EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeeesssss ooooofffff DDDDDiiiiiffffffffffeeeeerrrrreeeeennnnntttttiiiiiaaaaatttttiiiiiooooonnnnnsssss fffffrrrrrooooommmmm ttttthhhhheeeee 11111sssssttttt ppppprrrrriiiiinnnnnccccciiiiipppppllllleeeee i) f(x) = c, c being a constant. f(x) = c since c is constant we may write f(x+h) = c. So f(x+h) – f(x) = 0 f(x+h)-f(x) 0 Hence = f'(x)=lim =lim = 0 h→0 h h→0 h d So (c) = 0 dx ii) Let f(x) = xn, then f(x+h) = (x+h)n (cid:1) (cid:1) let x+h =t or h= t – x and as h 0 t x f (x+h)-f(x) lim Now f’(x) = h→0 h (x+h)n -xn lim = h→0 h lim = (tn – xn ) / (t – x) = nx n–1 t→x d Hence (xn) = nx n–1 dx iii) f (x) = ex ∴ f(x + h) = e x+h f(x+h)-f(x) lim So f’(x) = h→0 h ex+h -ex ex(eh-1) lim lim = = h→0 h h→0 h (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:20) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) eh-1 = ex lim = ex.1 h→0 h d Hence (ex) = ex dx iv) Let f(x) = ax then f(x+h) = ax+h f(x+h)-f(x) ax+h-ax ax(ah −1) f’(x) = lim = lim = lim   h→0 h h→0 h h→0  h  ah-1 lim = ax h→0 h = ax log a e d Thus (ax) = ax log a dx e v) Let f(x) = x. Then f(x + h) = x+h f(x+h)-f(x) f’(x)= lim h→0 h x+h - x = lim h→0 h ( x+h- x)( x+h+ x) = lim h→0 h( x+h+ x) x+h-x = lim h( x+h+ x h→0 1 1 = lim = x+h+ x 2 x h→0 d 1 Thus ( x) = dx 2 x vi) f(x) = log x ∴ f(x + h) = log ( x + h) f(x+h)-f(x) f’(x)= lim h→0 h log(x+h)-logx = lim h→0 h (cid:10)(cid:11)(cid:21) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India x+h log  (cid:3)(cid:4)(cid:5) =  x  (cid:2)→(cid:1) h (cid:7) (cid:2) (cid:3)(cid:4)(cid:5)  (cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:7)  = (cid:2)→(cid:1) (cid:2)     + (cid:6)    h Let = t i.e. h=tx and as h→0, t → 0 x 1 1 1 1 1 log(1 + t) ∴f’(x) = lim log(1+t)= lim log(1+t) = ×1= , since lim =1 t→0 tx x t→0 t x x t→0 t d 1 Thus (log x) = dx x 99999.....AAAAA.....33333 SSSSSOOOOOMMMMMEEEEE SSSSSTTTTTAAAAANNNNNDDDDDAAAAARRRRRDDDDD RRRRREEEEESSSSSUUUUULLLLLTTTTTSSSSS (((((FFFFFOOOOORRRRRMMMMMUUUUULLLLLAAAAASSSSS))))) d d d (1) (xn) = nx n–1 (2) (ex) = ex (3) (ax) = ax log a dx dx dx e d d d 1 (4) (constant) = 0 (5) (eax) = ae ax (5) (log x) = dx dx dx x d Note: { c f(x)} = cf’(x) c being constant. dx In brief we may write below the above functions and their derivatives: TTTTTaaaaabbbbbllllleeeee::::: FFFFFeeeeewwwww fffffuuuuunnnnnccccctttttiiiiiooooonnnnnsssss aaaaannnnnddddd ttttthhhhheeeeeiiiiirrrrr dddddeeeeerrrrriiiiivvvvvaaaaatttttiiiiivvvvveeeeesssss FFFFFuuuuunnnnnccccctttttiiiiiooooonnnnn DDDDDeeeeerrrrriiiiivvvvvaaaaatttttiiiiivvvvveeeee ooooofffff ttttthhhhheeeee fffffuuuuunnnnnccccctttttiiiiiooooonnnnn f(x) f ‘(x) x n n x n – 1 ea x ae a x log x 1/ x a x a x log a e c (a constant) 0 (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:22) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) We also tabulate the basic laws of differentiation. TTTTTaaaaabbbbbllllleeeee::::: BBBBBaaaaasssssiiiiiccccc LLLLLaaaaawwwwwsssss fffffooooorrrrr DDDDDiiiiiffffffffffeeeeerrrrreeeeennnnntttttiiiiiaaaaatttttiiiiiooooonnnnn FFFFFuuuuunnnnnccccctttttiiiiiooooonnnnn DDDDDeeeeerrrrriiiiivvvvvaaaaatttttiiiiivvvvveeeee ooooofffff ttttthhhhheeeee fffffuuuuunnnnnccccctttttiiiiiooooonnnnn d d (i) h(x) = c.f(x) where c is any {h(x)} =c. {f(x)} dx dx real constant (Scalar multiple of a function) d d d (ii) h(x) = f(x) ± g(x) {h(x)} = [f(x)]± {g(x)} dx dx dx (Sum/Difference of function) d d d (iii) h(x) = f(x). g(x) {h(x)} = f(x) {g(x)}+g(x) {f(x)} dx dx dx (Product of functions) d d f(x) d g(x) {f(x)}-f(x) {g(x)} (iv) h(x) = {h(x)} = dx dx g(x) dx {g(x)}2 (quotient of function) d d dz (v) h(x) = f{g(x)} {h(x)} = f(z). , where z = g(x) dx dz dx It should be noted here even through in (ii) (iii) (iv) and (v) we have considered two functions f and g it can be extended to more than two functions by taking two by two. EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: Differentiate each of the following functions with respect to x: 1 (a) 3x2 + 5x –2 (b) a x + x a + aa (c) x3-5x2+6x-2logx+3 3 x2 (d) ex log x (e) 2x x5 (f) ex 2x (g) ex / logx (h) 2 x. log x (i) 3x3+7 SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn::::: (a) Let y = f(x) = 3x2 + 5x –2 dy d d d = 3 (x) 2 + 5 (x) – (2) dx dx dx dx = 3 × 2x + 5.1 – 0 = 6x + 5 (b) Let h(x) = a x + x a + a a d d d d d {h(x)} = (a x + x a + a a) = (ax) + (xa) + (aa), aa is a constant dx dx dx dx dx (cid:10)(cid:11)(cid:23) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India = ax log a + axa – 1 + 0 = ax log a + axa – 1. (c) Let f (x) = 1 x3-5x2+6x-2logx+3 ∴ d { f(x) } = d ⎜⎜⎝ ⎛ ⎜1 x3-5x2+6x-2logx+3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ 3 dx dx 3 1 1 2 = .3x2-5.2x+6.1-2. +0 =x2-10x+6- . 3 x x (d) Let y = ex log x dy d d ⋅ ⋅ = ex (log x) + log x (ex) (Product rule) dx dx dx ex ex = + ex log x = (1+ x log x) x x dy ex So = (1 + x log x) dx x (e) y = 2x x5 dy d d = x5 (2x ) + 2x (x5) Product Rule dx dx dx = x5 2x log 2 + 5. 2x x4 e x2 (f) let y = ex 8 d dy ex (x2) − x2 (ex) (Quotient Rule) dx dx = dx (ex)2 2xex -x2ex x(2-x) = = (ex)2 ex (g) Let y = ex / logx d d (logx) (ex) − ex (logx) dy dx dx so = (Quotient Rule) dx (logx)2 exlogx-ex/x ex x logx-ex = = (logx)2 x(logx)2 dy ex(x logx-1) So = dx x(logx)2 (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:24) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) (h) Let h(x) = 2 x. log x The given function h(x) is appearing here as product of two functions f (x) = 2x and g(x) = log x. d d x x d d x = {h(x)} = (2 .logx) =2 (logx)+logx (2 ). dx dx dx dx x x 1 x 2 x 2 × +logx.(2 log2) = +2 log2logx x x 2x (i) Let h(x) = [Given function appears as the quotient of two functions] 3 3x +7 f(x) = 2x and g(x) = 3x3 + 7 3 d d 3 (3x +7) (2x)-2x (3x +7) 3 2 d (3x +7).2-2x.(9x +0) {h(x)} = dx dx = dx 3 2 3 2 (3x +7) (3x +7) { } 3 3 2 (3x +7)-9x 3 2(7-6x ) = = . 3 2 3 2 (3x +7) (3x +7) 99999.....AAAAA.....44444 DDDDDEEEEERRRRRIIIIIVVVVVAAAAATTTTTIIIIIVVVVVEEEEE OOOOOFFFFF AAAAA FFFFFUUUUUNNNNNCCCCCTTTTTIIIIIOOOOONNNNN OOOOOFFFFF FFFFFUUUUUNNNNNCCCCCTTTTTIIIIIOOOOONNNNN dy dy du If y = f [h(x)] then = × =f'(u)×h'(x) where u = h(x) dx du dx Example: Differentiate log (1 + x2) wrt. x Solution: Let y = log (1 + x 2) = log t when t = 1 + x 2 dy dy dt 1 2x 2x = = ×(0+2x)= = dx dt dx t t (1+x 2 ) This is an example of derivative of function of a function and the rule is called Chain Rule. 99999.....AAAAA.....55555 IIIIIMMMMMPPPPPLLLLLIIIIICCCCCIIIIITTTTT FFFFFUUUUUNNNNNCCCCCTTTTTIIIIIOOOOONNNNNSSSSS A function in the form f(x, y) = 0 eg. x2y2 + 3xy + y = 0 where y cannot be directly defined as a function of x is called an implicit function of x. In case of implicit functions if y be a differentiable function of x no attempt is required to dy express y as an implicit function of x for finding out . In such case differentiation of both dx dy sides with respect of x and substitution of = y gives the result. Thereafter y may be obtained dx 1 1 by solving the resulting equation. (cid:10)(cid:11)(cid:25) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India dy Example: Find for x2y2 + 3xy + y = 0 dx Solution: x2y2 + 3xy + y = 0 Differentiating with respect to x we see d d d(y) d dy x2 (y2) + y2 (x2) + 3x y + 3y (x) + = 0 dx dx dx dx dx dy dy d(x) dy d d(y2) dy = or 2yx2 + 2 xy2 +3x + 3y + = 0, (x)=1, 2y (chain rule) dx dx dx dx dx dx dx dy or (2yx2 + 3x + 1) + 2 xy2 + 3y = 0 dx 2 dy (2xy +3y) or = – 2 dx (2x y+3x+1) This is the procedure for differentiation of Implicit Function. 99999.....AAAAA.....66666 PPPPPAAAAARRRRRAAAAAMMMMMEEEEETTTTTRRRRRIIIIICCCCC EEEEEQQQQQUUUUUAAAAATTTTTIIIIIOOOOONNNNN When both the variables are expressed in terms of a parameter (a third variable)the involved equations are called parametric equations. dy For the parametric equations x = f(t) and y = h(t) the differential coefficient dx dy dy dy dt is obtained by using = dt . = ⋅ dx dx dt dx dt dy Example: Find if x = at3 y = a / t3 dx , dx dy SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: = 3at2; = – 3 a / t4 dt dt dy dy dt −3a 1 -1 = × = × = dx dt dx t4 3at2 t6 This is the procedure for differentiation of parametric functions. 99999.....AAAAA.....77777 LLLLLOOOOOGGGGGAAAAARRRRRIIIIITTTTTHHHHHMMMMMIIIIICCCCC DDDDDIIIIIFFFFFFFFFFEEEEERRRRREEEEENNNNNTTTTTIIIIIAAAAATTTTTIIIIIOOOOONNNNN The process of finding out derivative by taking logarithm in the first instance is called logarithmic differentiation. The procedure is convenient to adopt when the function to be differentiated involves a function in its power or when the function is the product of number (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:10) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) of functions. EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: Differentiate xx w.r.t. x SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn::::: let y = xx Taking logarithm, log y = x log x Differentiating with respect to x, 1 dy x = log x+ = 1+log x y dx x dy or = y (1 + log x) = xx (1 + log x) dx This procedure is called logarithmic differentiation. 99999.....AAAAA.....88888 SSSSSOOOOOMMMMMEEEEE MMMMMOOOOORRRRREEEEE EEEEEXXXXXAAAAAMMMMMPPPPPLLLLLEEEEESSSSS 1-x dy (1) If y= show that (1 – x2) + y = 0. 1+x dx 1 SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn:::::Taking logarithm, we may write log y = {log (1 – x) – log (1 + x)} 2 Differentiating throughout we have 1 dy 1 d 1 −1 1  1 = {log (1 – x) – log (1 + x)} =  − =− y dx 2 dx 21−x 1+x 1−x2 dy By cross–multiplication (1 – x2) = – y dx dy Transposing (1 – x2) + y = 0. dx (2) Differentiate the following w.r.t. x: (a) log (x + 2 2 ) x + a ( ) (b) log x-a + x-b . Solution:(a) y = log (x + 2 2 ) x + a ⎛ ⎞ dy 1 ⎜ + 1 ⎟ 1 (2x) dx = (x+ x 2 +a 2 ) ⎜ ⎝ 2 x2+ a2 ⎟ ⎠ 1 x + = 2 2 2 2 2 2 (x+ x +a ) (x+ x +a ) x + a (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:27) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 2 2 (x+ x +a ) 1 = = 2 2 2 2 2 2 (x+ x +a ) x +a x +a (b) Let y= (cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:13) (cid:6) − (cid:12) + (cid:6) − (cid:11)(cid:10) (cid:15)(cid:16) (cid:7)  (cid:7) (cid:7)  (cid:13) (cid:6) − (cid:11) + (cid:6) − (cid:12)(cid:10) (cid:17) or (cid:15)(cid:6) = (cid:6) − (cid:12) + (cid:6) − (cid:11)   (cid:14) (cid:6) − (cid:12) + (cid:14) (cid:6) − (cid:11)   = (cid:13) (cid:6) − (cid:12) + (cid:6) − (cid:11)(cid:10) (cid:14) (cid:6) − (cid:12) (cid:6) − (cid:11) (cid:7) = (cid:14) (cid:6) (cid:12) (cid:6) (cid:11) − − dy y (3) If xm yn = (x+y) m+n prove that = dx x SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: xm yn = (x+y) m+n Taking log on both sides log xm yn = (m+n) log (x + y) or m log x + n log y = ( m+n) log (x+y) (cid:5) (cid:18) (cid:15)(cid:16) (cid:13)(cid:5) (cid:18)(cid:10) (cid:15)(cid:16) +   (cid:7) so (cid:6) + (cid:16) (cid:15)(cid:6) = (cid:13)(cid:6) (cid:16)(cid:10)  + (cid:15)(cid:6)  +   (cid:18) (cid:5) + (cid:18) (cid:15)(cid:16) (cid:5) + (cid:18) (cid:5)  −  = = or (cid:16) (cid:6) (cid:16) (cid:15)(cid:6) (cid:13)(cid:6) (cid:16) (cid:6) + +   (nx+ny-my-ny) dy mx+nx-mx-my = or y(x+y) dx x(x+y) (nx-my) dy nx-my = or y dx x dy y or = Proved. dx x dy logx (4) If xy= ex–y Prove that = 2 dx (1+logx) Solution : xy= ex–y So y log x = ( x – y) log e or y log x = ( x – y) ..............(a) Differentiating w.r.t. x we get y dy dy + log x = 1 – x dx dx (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:26) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) dy y or (1 + log x) = 1 – dx x dy (x-y) or = , substituting x–y = log x, from (a) we have dx x(1+logx) dy y(logx) or = ……………….. (b) dx x(1+logx) From (a) y( 1 + logx ) = x y 1 or = x (1+logx) dy logx From (b) = 2 dx (1+logx) 99999.....AAAAA.....99999 BBBBBAAAAASSSSSIIIIICCCCC IIIIIDDDDDEEEEEAAAAA AAAAABBBBBOOOOOUUUUUTTTTT HHHHHIIIIIGGGGGHHHHHEEEEERRRRR OOOOORRRRRDDDDDEEEEERRRRR DDDDDIIIIIFFFFFFFFFFEEEEERRRRREEEEENNNNNTTTTTIIIIIAAAAATTTTTIIIIIOOOOONNNNN Let y = f(x) = x 4 + 5x 3 + 2x2 + 9 dy d = f(x) = 4x3 + 15x2 + 4x = f’(x) dx dx Since f(x) is a function of x it can be differentiated again. (cid:15) (cid:15)(cid:16) (cid:15) Thus     = (cid:19)′′ = (4x3 + 15x2 + 4x) = 12x2 + 30x + 4 (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6)   (cid:15) (cid:15)(cid:16) (cid:15)(cid:14)(cid:16)    is written as (read as d two y dx two) and is called the second derivative of (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6)(cid:14)   (cid:15)(cid:16) y with respect to x while is called the first derivative. Again the second derivative here (cid:15)(cid:6) (cid:15) (cid:15)(cid:14)(cid:16)   being a function of x can be differentiated again and (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6)(cid:14)    = (cid:19)′′′(x) = 24x +30. (cid:15)(cid:14)(cid:16) EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: If y = ae mx + be – mx prove that = m2y. (cid:15)(cid:6)(cid:14) (cid:15)(cid:16) (cid:15) SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn::::: = ( ae mx + be – mx ) = amemx – bme – mx (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:14)(cid:16) (cid:15) (cid:15)(cid:16) (cid:15)   =   = ( amemx – bme – mx) (cid:15)(cid:6)(cid:14) (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6)   =am2e mx+ bm2e – mx = m2 (ae mx + be – mx ) = m2y. (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 99999.....AAAAA.....1111100000 GGGGGEEEEEOOOOOMMMMMEEEEETTTTTRRRRRIIIIICCCCC IIIIINNNNNTTTTTEEEEERRRRRPPPPPRRRRREEEEETTTTTAAAAATTTTTIIIIIOOOOONNNNN OOOOOFFFFF TTTTTHHHHHEEEEE DDDDDEEEEERRRRRIIIIIVVVVVAAAAATTTTTIIIIIVVVVVEEEEE Let f(x) represent the curve in the Fig. We take two adjacent pair’s P and Q on the curve R Let f(x) represent the curve in the fig. We take two adjacent pair’s P and Q on the curve whose coordinates are (x y) and (x + ∆x y+∆y) respectively. The slope of the chord TPQ is (cid:16) (cid:15)(cid:16) ∆ (cid:3)(cid:4)(cid:5) given by ∆y/∆x when ∆x →0, Q → P. TPQ becomes the tangent at P and = ∆(cid:6)→(cid:1) ∆ (cid:6) (cid:15)(cid:6) The derivative of f(x) at a point x represents the slope (or sometime called the (cid:16) ∆ (cid:3)(cid:4)(cid:5) gradient of the curve) of the tangent to the curve y = f(x) at the point x. If exists ∆(cid:6)→(cid:1) ∆ (cid:6) for a particular point say x =a and f(a) is finite we say the function is differentiable at x = a and continuous at that point. EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee ::::: Find the gradient of the curve y = 3x2 – 5x +4 at the point (12). (cid:15)(cid:16) SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn : y = 3x2 – 5x + 4 ∴ = 6x – 5 (cid:15)(cid:6) so [dy /dx] = 6.1 –5 = 6 –5 = 1 x = 1 y = 2 Thus the gradient of the curve at (12 ) is 1. (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:20) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) EEEEExxxxxeeeeerrrrrccccciiiiissssseeeee 99999 (((((AAAAA))))) CCCCChhhhhoooooooooossssseeeee ttttthhhhheeeee mmmmmooooosssssttttt aaaaapppppppppprrrrroooooppppprrrrriiiiiaaaaattttteeeee oooooppppptttttiiiiiooooonnnnn (((((aaaaa))))) (((((bbbbb))))) (((((ccccc))))) ooooorrrrr (((((ddddd))))) 1. The gradient of the curve y = 2x3 –3x2 – 12x +8 at x = 0 is a) –12 b) 12 c) 0 d) none of these 2. The gradient of the curve y = 2x3 –5x2 – 3x at x = 0 is a) 3 b) –3 c) 1/3 d) none of these 3. The derivative of y = x+1 is a) 1 / x+1 b) – 1 / x+1 c) 1 / 2 x+1 d) none of these 4. If f(x) = eax2+bx+c the f ’(x) is a) (cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:14) +(cid:11)(cid:6)+(cid:20) b) eax2+bx+c (2ax +b) c) 2ax +b d) none of these x2+1 5. If f(x) = then f’(x) is x2-1 a) –4x / (x2 – 1)2 b) 4x / (x2 – 1)2 c) x / (x2 – 1)2 d) none of these dy 6. If y = x (x –1 ) (x – 2) then is dx a) 3x2 – 6x +2 b) –6x + 2 c) 3x2 + 2 d) none of these -2 7. The gradient of the curve y – xy + 2px + 3qy = 0 at the point (3, 2 ) is – . The values of p 3 and q are a) (1/2, 1/2) b) (2, 2) c) (–1/2, –1/2) d) (1/2, 1/6) dy 8. The curve y2 = ux3 + v passes through the point P(2, 3) and = 4 at P. The values of u dx and v are a) (u = 2, v = 7) b) (u = 2, v =– 7) c) (u = –2, v =– 7) d) (0, -1) 9. The gradient of the curve y + px +qy = 0 at (1, 1) is 1/ . The values of p and q are 2 a) (–1, 1) b) (2, –1) c) (1, 2) d) (0, -1) 10. If xy = 1 then y2 + dy/dx is equal to a) 1 b) 0 c) –1 d) none of these 11. The derivative of the function x+ x is 1 1 1  1  a) b) 1+ c) ( )1+ d) none of these 2 x+ x 2 x 2x+ x  2 x  (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:21) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India dy 12. Given e xy –4xy = 0, can be proved to be dx a) – y /x b) y / x c) x / y d) none of these x2 y2 dy 13. If - = 1, can be expressed as a2 a2 dx 1 x x x2 a) b) c) d) none of these a x2-a2 -1 a2 dy 14. If log (x / y) = x + y, may be found to be dx y(1-x) y 1-x a) b) c) d) none of these x(1+y) x 1+y dy 15. If f(x, y) = x3 + y3 – 3axy = 0, can be found out as dx ay-x2 ay-x2 ay+x2 a) b) c) d) none of these y2+ax y2-ax y2+ax dy 16. Given x = at2, y = 2at; is calculated as dx a) t b) –1/t c) 1/t d) none of these dy 17. Given x = 2t + 5, y = t2 – 2; is calculated as dx a) t b) –1/t c) 1/t d) none of these 1 dy 18. If y = then is equal to x dx 1 -1 1 a) b) c) – d) none of these 2x x x x 2x x dy 19. If x = 3t2 –1, y = t3 –t, then is equal to dx 3t2-1 3t -1 a) b) 3t2–1 c) d) none of these 6t 6t (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:22) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 20. The slope of the tangent to the curve y = 4-x2 at the point, where the ordinate and the abscissa are equal, is a) –1 b) 1 c) 0 d) none of these 21. The slope of the tangent to the curve y = x2 –x at the point, where the line y = 2 cuts the curve in the Ist quadrant, is a) 2 b) 3 c) –3 d) none of these dy 22. For the curve x2 + y2 + 2gx + 2hy = 0, the value of at (0, 0) is dx a) -g/h b) g/h c) h/g d) none of these e3x-e2x dy 23. If y = , then is equal to e3x+e2x dx a) 2e5x b) 1/(e5x + e2x )2 c) e5x/(e5x + e2x ) d) none of these dy 24. If xy . yx = M, M is constant the n is equal to dx -y -y(y+xlogy) y+xlogy a) b) c) d) none of these x x(ylogx+x) ylogx+x dy 25. Given x = t + t–1 and y = t – t–1 the value of at t = 2 is dx a) 3/5 b) –3/5 c) 5/3 d) none of these dy 26. If x3 –2x2 y2 + 5x +y –5 =0 then at x = 1, y = 1 is equal to dx a) 4/3 b) – 4/3 c) 3/4 d) none of these 27. The derivative of x2 log x is a) 1+2log x b) x(1 + 2 log x) c) 2 log x d) none of these 3-5x 28. The derivative of is 3+5x a) 30/(3 +5x)2 b) 1/(3 +5x)2 c) –30/(3 +5x)2 d) none of these dy 29. Let y = 2x + 32x then is equal to dx a) (1/ 2x) + 2.32x log 3 b) 1/ 2x e c) 2.32x log 3 d) none of these e (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:23) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India { }3/4 (x-2) 30. The derivative of log ex is x+2 x2+1 x2-1 1 a) b) c) d) none of these x2+4 x2-4 x2-4 31. The derivative of e3x2-6x+2 is a) 30(1 –5x)5 b) (1–5x )5 c) 6(x–1)e3x2-6x+2 d) none of these dy x 32. If y = e +1 then is equal to dx x e -1 -2ex -2ex -2 a) b) c) d) none of these (ex-1)2 (ex-1)2 (ex-1)2 (cid:13)(cid:12) (cid:6)(cid:10) (cid:12)+(cid:7)+(cid:14)(cid:6)  +  33. If f(x) =   the value of f’(0) is (cid:13)(cid:7) (cid:6)(cid:10)  +   (cid:13)(cid:7) − (cid:12)(cid:14)(cid:10)    a) aa+1 b) aa+1 (cid:12) + (cid:14)(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:12) c) 2 log a d) none of these   ⎡dy⎤ ⎢ ⎥ 34. If x = at2 y = 2at then ⎣dx⎦ is equal to t=2 a) 1/2 b) –2 c) –1/2 d) none of these ⎛ 1 ⎞2 35. Let f(x) = ⎜ x+ ⎟ then f’(2) is equal to ⎝ x ⎠ a) 3/4 b) 1/2 c) 0 d) none of these 36. If f(x) = x2 – 6x+8 then f’(5) – f’(8) is equal to a) f’(2) b) 3f’(2) c) 2f’(2) d) none of these 37. If y = ( x + x2+m2 )n then dy/dx is equal to a) ny b) ny/ x2+m2 c) –ny/ x2+m2 d) none of these 38. If y = + x /m + m / x then 2xy dy/dx – x/m + m /x is equal to a) 0 b) 1 c) –1 d) none of these x2 x3 xn dy 39. If y = 1 + x + + + ………..+ then – y is proved to be 2! 3! n dx a) 1 b) –1 c) 0 d ) none of these (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:24) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 40. If f(x) = xk and f’(1) = 10 the value of k is a) 10 b) –10 c) 1/10 d) none of these 41. If y = x2+m2 then y y (where y = dy/dx) is equal to 1 1 a) –x b) x c) 1/x d) none of these dy 42. If y = ex + e–x then – y2 – 4 is equal to dx a) 1 b) –1 c) 0 d) none of these 43. The derivative of (x2–1)/x is a) 1 + 1/x2 b) 1 – 1/x2 c) 1/x2 d) none of these 44. The differential coefficients of (x2 +1)/x is a) 1 + 1/x2 b) 1 – 1/x2 c) 1/x2 d) none of these dy 45. If y = e 2x then is equal to _____________. dx e 2x e 2x a) b) e 2x c) d) none of these 2x 2x dy (cid:2)(cid:2)(cid:2)∞ 46. If y = x then is equal to _____________. x dx y2 y2 y2 a) b) c) d) none of these 2 – y log x x(2 – y log x) log x 47. If x = (1 – t2 )/(1 + t2) y = 2t/(1 + t2) then dy/dx at t =1 is _____________. a) 1/2 b) 1 c) 0 d) none of these 48. f(x) = x2/ex then f’(1) is equal to _____________. a) – 1/e b) 1/e c) e d) none of these 49. If y = (x + x2- 1)m then (x2– 1) (dy/dx)2 – m2y2 is proved to be a) –1 b) 1 c) 0 d) none of these 4 – 2x 50. If f(x) = then the values of x for which f’(x) = 0 is 2 2+ 3x +3x 5 a) 2 (1 ± ) b) (1 ± 3) c) 2 d) none of these 3 (((((BBBBB))))) IIIIINNNNNTTTTTEEEEEGGGGGRRRRRAAAAALLLLL CCCCCAAAAALLLLLCCCCCUUUUULLLLLUUUUUSSSSS 99999.....BBBBB.....11111 IIIIINNNNNTTTTTEEEEEGGGGGRRRRRAAAAATTTTTIIIIIOOOOONNNNN Integration is the reverse process of differentiation. (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:25) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India Integration f(x) f’(x) Differentiation we know (cid:15)  (cid:6)(cid:18)+(cid:7)  ((cid:18) + (cid:7))(cid:6)(cid:18)  = (cid:15)(cid:6)  (cid:18) + (cid:7)  ((cid:18) + (cid:7)) d  xn+1  o or    =xn …………………(1) dx  n+1  Integration is the inverse operation of differentiation and is denoted by the symbol ∫. Hence, from equation (1), it follows that ∫ xndx = xn+1 n+1 xn+1 i.e. Integral of xn with respect to variable x is equal to n+1 (xn+1) Thus if we differentiate we can get back xn n+1 (xn+1) Again if we differentiate + c and c being a constant, we get back the same xn . n+1 d xn+1  i.e.  +c=xn dx  n+1  (xn+1) Hence ∫ xn dx = + c and this c is called the constant of integration. n+1 Integral calculus was primarily invented to determine the area bounded by the curves dividing the entire area into infinite number of infinitesimal small areas and taking the sum of all these small areas. 99999.....BBBBB.....22222 BBBBBAAAAASSSSSIIIIICCCCC FFFFFOOOOORRRRRMMMMMUUUUULLLLLAAAAASSSSS i) ∫ xn dx = xn+1 + c, n ≠− 1 (Ifn=-1, xn+1 = 1 is not defined) + n 1 n+1 0 x1 ∫ ∫ ∫ ii) dx = x, since 1dx = x°dx= = x 1 (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:26)(cid:10) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) d iii) ex dx = ex + c, since ex=ex dx ⎛ ax ⎞ iv) ∫ eax dx = e ax + c, since d ⎜ ⎜e ⎟ ⎟ = e ax a dx⎝ a ⎠ dx d 1 ∫ v) = log x+c, since logx= x dx x ⎛ ⎞ d ⎜ ax ⎟ vi) ∫ ax dx = ax / log a+c, since dx ⎜ ⎜⎜⎝loga ⎟ ⎟⎠ ⎟= ax e e NNNNNooooottttteeeee::::: In the answer for all integral sums we add +c (constant of integration) since the differentiation of constant is always zero. EEEEEllllleeeeemmmmmeeeeennnnntttttaaaaarrrrryyyyy RRRRRuuuuullllleeeeesssss::::: ∫c f(x) dx = c ∫f(x) dx where c is constant. ∫ { f(x) dx ± g(x)} dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx (cid:7) EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeeesssss ::::: Find (a) ∫ (cid:6) (cid:15)(cid:6)(cid:23) (b) ∫ (cid:6) (cid:15)(cid:6)(cid:23) (c) ∫ (cid:21)−(cid:24)(cid:6)(cid:15)(cid:6) (d) ∫ (cid:24)(cid:6)(cid:15)(cid:6) (e)∫x x dx. (cid:6)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:14) 2x3/2 ∫ SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn::::: (a) x dx = x1/2 +1 / (1/2 + 1) = (cid:24)(cid:25)(cid:14) = +c 3 (cid:7) (cid:7) (cid:6)− (cid:14) +(cid:7) ∫ (cid:7) (cid:15)(cid:6) ∫(cid:6)− (cid:14) (cid:15)(cid:6) = (cid:7) + (cid:20) = (cid:14) (cid:6) + (cid:20) (b) = where c is arbitrary constant. (cid:6) (cid:7) − + (cid:14) (cid:21)−(cid:24)(cid:6) (cid:7) (c) ∫e−3x dx = + (cid:20) =− (cid:21)−(cid:24)(cid:6) + (cid:20) (cid:24) (cid:24) − (cid:24)(cid:6) (d) ∫3x dx =(cid:3)(cid:8)(cid:9) (cid:24) + (cid:20)(cid:17) (cid:21) (cid:24) (cid:24) (cid:6)(cid:14) +(cid:7) (cid:14) ∫(cid:6)(cid:14) (cid:15)(cid:6) = (cid:15)(cid:6) = (cid:6)(cid:24)(cid:25)(cid:14) + (cid:20)(cid:17) (e) ∫x x dx. = (cid:24) (cid:7) (cid:26) + (cid:14) EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeeesssss ::::: Evaluate the following integral: i) ∫(x + 1/x)2 dx = ∫x2 dx +2 ∫dx + ∫dx / x2 (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:27) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India x3 x–2+1 = +2x+ 3 –2+1 x3 1 = +2x– +c 3 x ii) ∫ x (x3+2x –3 ) dx = ∫x7/2 dx +2 ∫x3/2 dx –3 ∫x1/2 dx x7/2+1 2 x 3/2+1 3 x1/2+1 = + – 7/2 +1 3/2+1 1/2+1 2x9/2 4x5/2 = + –2 x3/2 + c 9 5 iii) e3 x+ e–3 x dx ∫ = ∫e2 x dx + ∫e–4 x dx e2x e−4x e2x 1 = + = − +c 2 −4 2 4e4x (cid:6)(cid:14) (cid:6)(cid:14) (cid:27)(cid:7) + (cid:7) iv) ∫ (cid:15)(cid:6) =∫ (cid:15)(cid:6) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) + + (cid:13)(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:28)(cid:7)(cid:10) (cid:15)(cid:6) = ∫ (cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22) + (cid:22)∫ (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) + + x2 = ∫(x−1)dx+log(x+1)= −x+log(x+1)+c 2 (cid:6)(cid:24)(cid:22) (cid:22)(cid:26)(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:27)(cid:24) + ∫ (cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:13)(cid:6)(cid:22) (cid:14)(cid:10) v) + (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:6)(cid:24)(cid:22) (cid:22)(cid:26)(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:27)(cid:24) + ∫ (cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:13)(cid:6)(cid:22) (cid:14)(cid:10) By simple division + (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)  (cid:29)  = ∫ (cid:6)(cid:14) + (cid:24)(cid:6)(cid:22)(cid:28)(cid:30)(cid:22)(cid:22) + (cid:22) ((cid:6)(cid:27)(cid:14)) (cid:22)  (cid:15)(cid:6)(cid:22)   x3 3x2 = + – 6x+9log(x+2)+c 3 2 99999.....BBBBB.....33333MMMMMEEEEETTTTTHHHHHOOOOODDDDD OOOOOFFFFF SSSSSUUUUUBBBBBSSSSSTTTTTIIIIITTTTTUUUUUTTTTTIIIIIOOOOONNNNN(((((CCCCCHHHHHAAAAANNNNNGGGGGEEEEE OOOOOFFFFF VVVVVAAAAARRRRRIIIIIAAAAABBBBBLLLLLEEEEE))))) It is sometime possible by a change of independent variable to transform a function into another which can be readily integrated. WWWWWeeeee cccccaaaaannnnn ssssshhhhhooooowwwww ttttthhhhheeeee fffffooooollllllllllooooowwwwwiiiiinnnnnggggg rrrrruuuuullllleeeeesssss..... (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:26) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) To put z = f (x) and also to adjoin dz = f ′ (x) dx EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: ∫"!(cid:2)(cid:13)(cid:6)(cid:10) (cid:2)(cid:31)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6)(cid:23) take ez = h(x) and to adjust dz = h′ (x) dx then integrate ∫F(z) dz using normal rule. EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: ∫(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:22) + (cid:24)(cid:22)(cid:10)#(cid:22)(cid:15)(cid:6) We put (2x + 3) = t ⇒ so 2 dx = dt or dx = dt / 2 $% $% ((cid:14)(cid:6) + (cid:24))% Therefore ∫(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:22) + (cid:24)(cid:22)(cid:10)#(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22) = (cid:22)&(cid:22)∫$#(cid:22)(cid:15)$(cid:22)(cid:22)(cid:22) = (cid:22) (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) = (cid:22)(cid:22) = + (cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:14)(cid:6)% (cid:7)(cid:30) (cid:7)(cid:30) This method is known as Method of Substitution (cid:6)(cid:24) ∫ (cid:15)(cid:6) EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: ((cid:6)(cid:14) (cid:7))(cid:24) We put (x2 +1) = t + so 2x dx = dt or x dx = dt / 2 (cid:6)(cid:14)(cid:17)(cid:6) = ∫ (cid:15)(cid:6) $(cid:24) (cid:7) $ (cid:7) − = (cid:14) ∫ $(cid:24) (cid:15)$ (cid:7) (cid:15)$ (cid:7) (cid:15)$ = (cid:14) ∫ $(cid:14) (cid:27) (cid:14) ∫ $(cid:24) (cid:7) $(cid:27)(cid:14)+(cid:7) (cid:7) $(cid:27)(cid:24)+(cid:7) (cid:27) = × × (cid:14) ((cid:27)(cid:14) + (cid:7)) (cid:14) (cid:13)(cid:27)(cid:24) + (cid:7)(cid:10) 1 1 1 1 = – + 2 t 4 t2 1 1 1 1 = − 4 t2 2 t 1 1 1 1 . − . +c = 4 (x2 +1) 2 (x2 +1) IIIIIMMMMMPPPPPOOOOORRRRRTTTTTAAAAANNNNNTTTTT SSSSSTTTTTAAAAANNNNNDDDDDAAAAARRRRRDDDDD FFFFFOOOOORRRRRMMMMMUUUUULLLLLAAAAASSSSS (cid:15)(cid:6) (cid:7) (cid:6)(cid:27)(cid:12) ∫ = (cid:3)(cid:8)(cid:9) aa) (cid:6)(cid:14) (cid:27) (cid:12)(cid:14) (cid:14)(cid:12) (cid:6) + (cid:12) dx 1 a+x ∫ = log b) a2 –x2 2a a–x dx ∫ =log x+ x2+a2 c) x2 +a2 (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:15)(cid:6) ( ) ∫ = (cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:6) + (cid:6)(cid:14) − (cid:12)(cid:14) d) (cid:6)(cid:14) (cid:12)(cid:14) − e) ∫ex{f(x)+f’(x)}dx =exf(x) (cid:6) (cid:12)(cid:14) ( ) f) ∫ (cid:6)(cid:14) + (cid:12)(cid:14) (cid:15)(cid:6) = (cid:6)(cid:14) + (cid:12)(cid:14) + (cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:6) + (cid:6)(cid:14) + (cid:12)(cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:6) (cid:12)(cid:14) g) ∫ (cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:28)(cid:22)(cid:12)(cid:14)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22) = (cid:22) (cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:28)(cid:22)(cid:12)(cid:22)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:28) (cid:22)(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:13)(cid:22)(cid:6)(cid:22) + (cid:22) (cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:27)(cid:22)(cid:12)(cid:14)(cid:10) (cid:14) (cid:14) (cid:19)(cid:31)(cid:13)(cid:6)(cid:10) ∫ (cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) h) (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10) =log f(x) (cid:21)(cid:6) (cid:15)’ (cid:15)(cid:6) EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeeesssss :::::( a) ∫ (cid:21)(cid:14)(cid:6) ( = ∫ ’(cid:14) (cid:14)(cid:14) where z=e x dz = e x dx − − (cid:7) (cid:21)(cid:6) − (cid:14) = (cid:3)(cid:8)(cid:9)  ( (cid:21)(cid:6) (cid:14) +c +   (cid:7) (cid:6) (cid:6)(cid:14) (cid:7) − − ∫ (cid:15)(cid:6) = ∫ (cid:15)(cid:6) ∫ (cid:13)(cid:6) − (cid:6)(cid:14) − (cid:7)(cid:10)(cid:15)(cid:6) (b) (cid:6) (cid:6)(cid:14) (cid:7) (cid:13)(cid:6) (cid:6)(cid:14) (cid:7)(cid:10) (cid:13)(cid:6)(cid:27) (cid:6)(cid:14) (cid:27)(cid:7)(cid:10) = + − + − (cid:6)(cid:14) (cid:6) (cid:7) (cid:6)(cid:14) (cid:7) (cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:13)(cid:6) (cid:6)(cid:14) (cid:7)(cid:10) (cid:20) = − − + + − + (cid:14) (cid:14) (cid:14) ∫ex(x3 +3x2)dx=∫ex{f(x)+f'(x)}dx,wheref(x)=x3 (c) [by (e) above)] = exx3+c 99999.....BBBBB.....44444 IIIIINNNNNTTTTTEEEEEGGGGGRRRRRAAAAATTTTTIIIIIOOOOONNNNN BBBBBYYYYY PPPPPAAAAARRRRRTTTTTSSSSS (cid:15)(cid:13)+(cid:10) +*(cid:15)(cid:6) + *(cid:15)(cid:6) , *(cid:15)(cid:6))(cid:15)(cid:6) ∫ = ∫ −∫ ∫ (cid:15)(cid:6) where u and v are two different functions of x EEEEEvvvvvaaaaallllluuuuuaaaaattttteeeee::::: i) ∫(cid:6)(cid:21)(cid:6) (cid:15)(cid:6) Integrating by parts we see (cid:15) ∫(cid:6)(cid:21)(cid:6)(cid:15)(cid:6) = (cid:6)∫(cid:21)(cid:6)(cid:15)(cid:6) −∫  (cid:13)(cid:6)(cid:10)∫(cid:21)(cid:6)(cid:15)(cid:6)  (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6)   = (cid:6)(cid:22)(cid:21)(cid:22)(cid:6)(cid:22)(cid:27)(cid:22)∫(cid:7)(cid:17)(cid:22)(cid:21)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:22) = (cid:22)(cid:22)(cid:6)(cid:21)(cid:6)(cid:22)(cid:27)(cid:22)(cid:22)(cid:21)(cid:6)(cid:22) + (cid:20)(cid:22) (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:20) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) ∫ ii) x log x dx Integrating by parts,  d  log x ∫ x dx– ∫ (logx)∫xdxdx dx  (cid:6)(cid:14) (cid:7) (cid:6)(cid:14)  (cid:17) (cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:6)(cid:27)∫ (cid:17) (cid:15)(cid:6) = (cid:14) (cid:6) (cid:14)    (cid:6)(cid:14) 1 = (cid:17) log x – ∫xdx (cid:14) 2 (cid:6)(cid:14) x2 (cid:17) = log x – + c Ans. (cid:14) 4 iii) ∫(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:15) = (cid:6)(cid:14)(cid:22)∫(cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:27)(cid:22)∫  (cid:22)(cid:13)(cid:6)(cid:14)(cid:10)(cid:22)∫(cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:22)(cid:15)(cid:6)  (cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:15)(cid:6)   (cid:6)(cid:14) (cid:21)(cid:12)(cid:6) = (cid:22)(cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:22)(cid:27)(cid:22)∫(cid:14)(cid:6)(cid:22)(cid:17)(cid:22) (cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:12) (cid:12) (cid:6)(cid:14) (cid:14) = (cid:22)(cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:22)(cid:27)(cid:22) ∫(cid:6)(cid:17)(cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:12) (cid:12) (cid:6)(cid:14) (cid:14) (cid:15) = (cid:12) (cid:21)(cid:12)(cid:6) (cid:27) (cid:12) ×∫(cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:27)∫   (cid:15)(cid:6) (cid:13)(cid:6)(cid:10)∫(cid:21)(cid:12)(cid:6)(cid:15)(cid:6)  (cid:15)(cid:6)   x2eax 2xeax eax  = −  −∫ 1. dx a a a a  x2eax 2xeax 2 = – + eax+c a a2 a3 99999..... BBBBB.....55555 MMMMMEEEEETTTTTHHHHHOOOOODDDDD OOOOOFFFFF PPPPPAAAAARRRRRTTTTTIIIIIAAAAALLLLL FFFFFRRRRRAAAAACCCCCTTTTTIIIIIOOOOONNNNN TTTTTyyyyypppppeeeee IIIII ::::: (cid:13)(cid:24)(cid:6)(cid:22) (cid:22)(cid:14)(cid:10)(cid:22)(cid:15)(cid:6) + EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee ::::: ∫ (cid:22) (cid:13)(cid:6)(cid:28)(cid:14)(cid:10)(cid:22)(cid:13)(cid:6)(cid:28)(cid:24)(cid:10) ( 3x +2) SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: let (x-2) (x-3) A B + = (x–2) (x–3) (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:21) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India [Here degree of the numerator must be lower than that of the denominator; the denominator contains non–repeated linear factor] so 3x +2 = A (x – 3) + B (x – 2) We put x = 2 and get 3.2 +2 = A ( 2–3) + B (2–2) => A = –8 we put x = 3 and get 3.3 +2 = A (3–3) + B (3–2) => B= 11 (cid:13)(cid:24)(cid:6) + (cid:14)(cid:10) (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6) ∫ (cid:15)(cid:6) = − %∫ + (cid:7)(cid:7)∫ (cid:13)(cid:6)(cid:27)(cid:14)(cid:10)(cid:13)(cid:6)(cid:27)(cid:24)(cid:10) (cid:6) (cid:14) (cid:6)(cid:27)(cid:24) − =–log(x–2)+11log(x-3)+c TTTTTyyyyypppppeeeee IIIIIIIIII::::: (cid:13)(cid:24)(cid:6)(cid:22) (cid:22)(cid:14)(cid:10)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22) + ∫ EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee : (cid:13)(cid:6)(cid:28)(cid:14)(cid:10) (cid:22)(cid:13)(cid:6)(cid:28)(cid:24)(cid:10) (cid:14) (3x + 2) A B C = + + SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: let (x-2)2 (x-3) (x–2) (x–2)2 (x–3) or 3x +2 = A (x –2) (x–3) + B (x–3) +C (x–2)2 Comparing coefficients of x2, x and the constant terms of both sides, we find A+C = 0 …………(i) –5A +B – 4C = 3 ……(ii) 6A –3B +4C = 2 …….(iii) By (ii) + (iii) A –2B = 5 ..…….(iv) (i) – (iv) 2B + C = –5 …….(v) From (iv) A = 5+2B From (v) C = –5–2B From (ii) –5 ( 5+2B) + B –4 (–5 –2B) = 3 or –25 – 10B + B + 20 + 8B = 3 or –B –5 = 3 or B = –8 A = 5 –16 = –11, from (iv) C = –A = 11 (cid:13)(cid:24)(cid:6)(cid:22) (cid:22)(cid:14)(cid:10)(cid:22)(cid:15)(cid:6) + ∫ TTherefore (cid:13)(cid:6)(cid:28)(cid:14)(cid:10)(cid:14)(cid:13)(cid:6)(cid:28)(cid:24)(cid:10) (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6) (cid:15)(cid:6) = (cid:27)(cid:7)(cid:7)∫ (cid:13)(cid:6)(cid:27)(cid:14)(cid:10) (cid:27)%∫ (cid:13)(cid:6)(cid:27)(cid:14)(cid:10)(cid:14) + (cid:7)(cid:7)∫ (cid:13)(cid:6)(cid:27)(cid:24)(cid:10) (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:22) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 8 = –11 log (x–2) + + 11 log (x–3) (x–2) (x–3) 8 = 11 log + + c Ans. (x–2) (x–2) TTTTTyyyyypppppeeeee IIIIIIIIIIIIIII::::: (cid:13)(cid:24)(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:28)(cid:14)(cid:6)(cid:22) (cid:26)(cid:10) + EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: ∫ (cid:13)(cid:6)(cid:22)(cid:28)(cid:7)(cid:10)(cid:14)(cid:22)(cid:13)(cid:22)(cid:6)(cid:14)(cid:22) (cid:22)(cid:26)(cid:10) (cid:15)(cid:6) + 3x2–2x+5 A Bx+C Solution: Let = + (x–1)2(x2+5) x–1 (x2+5) so 3x2 –2x +5 = A (x2 + 5 ) + (Bx +C) (x–1) Equating the coefficients of x2, x and the constant terms from both sides we get A + B = 3 …………(i) C – B = –2 …………(ii) 5A –C = 5 ………….(iii) by (i) + (ii) A + C = 1 ……… (iv) by (iii) + (iv) 6A = 6 ……… (v) or A = 1 therefore B = 3–1 = 2 and C = 0 (cid:13)(cid:24)(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:28)(cid:14)(cid:6)(cid:22) (cid:26)(cid:10) + Thus ∫ (cid:13)(cid:6)(cid:22)(cid:28)(cid:7)(cid:10)(cid:14)(cid:22)(cid:13)(cid:22)(cid:6)(cid:14)(cid:22) (cid:22)(cid:26)(cid:10) (cid:15)(cid:6) + (cid:15)(cid:6) (cid:14)(cid:6) ∫ +∫ (cid:15)(cid:6) = (cid:6)(cid:27)(cid:7) (cid:6)(cid:14) (cid:26) = log (x–1) + log (x2 + 5) + = log ( x2 + 5) (x–1) + c Ans. (cid:15)(cid:6) ∫ EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: (cid:6)(cid:13)(cid:6)(cid:24) (cid:7)(cid:10) + (cid:15)(cid:6) ∫ SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: (cid:6)(cid:13)(cid:6)(cid:24) (cid:7)(cid:10) + (cid:6)(cid:14)(cid:15)(cid:6) ∫ = (cid:6)(cid:24) (cid:13)(cid:6)(cid:24) (cid:7)(cid:10) we put x3 = z, 3x2 dx = dz + (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:23) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:7) (cid:15)’ = ∫ (cid:24) ’(cid:13)’ (cid:7)(cid:10) + (cid:7) (cid:7) (cid:7) = (cid:24) ∫  ’ (cid:27) ’ (cid:7)  (cid:15)’  +  1 [ ] = logz−log(z−1) 3 1  x3  log +c = 3  x3 −1  EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee ::::: Find the equation of the curve where slope at (x, y) is 9x which passes through the origin. dy SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: = 9x dx ∴ ∫(cid:15)(cid:16) = or y = 9x2 /2 +c Since it passes through the origin, c = 0; thus required eqn. is 9x 2= 2y. 99999.....BBBBB.....66666 DDDDDEEEEEFFFFFIIIIINNNNNIIIIITTTTTEEEEE IIIIINNNNNTTTTTEEEEEGGGGGRRRRRAAAAATTTTTIIIIIOOOOONNNNN Suppose F(x) dx = f (x) As x changes from a to b the value of the integral changes from f (a) to f (b). This is as (cid:11) "(cid:13)(cid:6)(cid:10) (cid:15)(cid:6) (cid:19)(cid:13)(cid:11)(cid:10) (cid:19)(cid:13)(cid:12)(cid:10) ∫ = − (cid:12) ‘b’ is called the upper limit and ‘a’ the lower limit of integration. We shall first deal with indefinite integral and then take up definite integral. (cid:14) ∫(cid:6)(cid:26) (cid:15)(cid:6) EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee ::::: (cid:1) 2 ∫x5 dx= x6 SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: 6 0 (cid:14) (cid:6)(cid:30)  (cid:14) ∫(cid:6)(cid:26)(cid:15)(cid:6) =   (cid:30)  (cid:1)  (cid:1) 1 = (26 – 0) = 64/6 = 32/3 = 10.666 6 (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:24) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) NNNNNooooottttteeeee::::: IIIIInnnnn dddddeeeeefffffiiiiinnnnniiiiittttteeeee iiiiinnnnnttttteeeeegggggrrrrraaaaatttttiiiiiooooonnnnn ttttthhhhheeeee cccccooooonnnnnssssstttttaaaaannnnnttttt CCCCC ssssshhhhhooooouuuuulllllddddd nnnnnooooottttt bbbbbeeeee aaaaaddddddddddeeeeeddddd 2 EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee::::: ∫ (x2 −5x+2)dx 1 SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn:::::∫ 2 (x2 −5x+2)dx = x3 − 5x2 +2x Now, ∫ 2 (x2 −5x+2)dx = x3 − 5x2 +2x  2 1 3 2  3 2  1 1 (cid:14)(cid:24) (cid:26)(cid:6)(cid:14)(cid:14) (cid:14)(cid:6)(cid:14)   (cid:7) (cid:26) (cid:14) = (cid:24) − (cid:14) + − (cid:24) − (cid:14) +  = –19/6     99999..... BBBBB.....77777 IIIIIMMMMMPPPPPOOOOORRRRRTTTTTAAAAANNNNNTTTTT PPPPPRRRRROOOOOPPPPPEEEEERRRRRTTTTTIIIIIEEEEESSSSS IIIIImmmmmpppppooooorrrrrtttttaaaaannnnnttttt PPPPPrrrrrooooopppppeeeeerrrrrtttttiiiiieeeeesssss ooooofffff DDDDDeeeeefffffiiiiinnnnniiiiittttteeeee IIIIInnnnnttttteeeeegggggrrrrraaaaalllll (cid:11) (cid:11) (cid:11) (cid:12) ∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) =∫ (cid:19)(cid:13)$(cid:10)(cid:15)$ ∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) =−∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) (I) (II) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:11) (cid:11) (cid:20) (cid:11) ∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) =∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) +∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6)(cid:23)(cid:12) < (cid:20) < (cid:11) (III) (cid:12) (cid:11) (cid:20) (cid:12) (cid:12) ∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) =∫ (cid:19)(cid:13)(cid:12)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) (IV) (cid:1) (cid:8) (cid:18)(cid:12) (cid:12) ∫ (cid:19) (cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) = (cid:18)∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) (V) When f(x) =f (a+x) = (cid:1) (cid:1) a a ∫ f(x)dx=2∫ f(x)dx (VI) if f(–x) = f(x) –a 0 = 0 if f(–x) = –f(x) 2 x2dx ∫ EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee ::::: x2 +(2−x)2 0 (cid:14) (cid:6)(cid:14)(cid:15)(cid:6) ∫ SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: Let I = (cid:6)(cid:14) (cid:13)(cid:14)(cid:27) (cid:6)(cid:10)(cid:14) + (cid:1) (cid:14) (cid:13)(cid:14)(cid:28)(cid:6)(cid:10)(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22) ∫ = (cid:13)(cid:14)(cid:28)(cid:6)(cid:10)(cid:14)(cid:22)(cid:22) (cid:6)(cid:14) [by prop IV] + (cid:1) (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:25) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 2 x2dx 2 (2−x)2 21=∫ +∫ ∴ x2 +(2–x)2 (2−x)2 +x2 0 0 (cid:14) (cid:6)(cid:14) (cid:13)(cid:14)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:14) + ∫ (cid:15)(cid:6) (cid:6)(cid:14) (cid:13)(cid:14)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:14) + (cid:1) 2 = ∫ dx = [x]2 = 2–0 = 2 0 0 or I = 2/2 = 1 (cid:14) (cid:6)((cid:22)(cid:15)(cid:6) ∫ (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:13)(cid:12) > (cid:22)(cid:14)(cid:10) EEEEExxxxxaaaaammmmmpppppllllleeeee ::::: Evaluate (cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:22)(cid:27)(cid:22)(cid:22)(cid:6)(cid:7)(cid:1) (cid:27)(cid:14) (cid:6)((cid:22)(cid:15)(cid:6) (cid:6)((cid:22)(cid:15)(cid:6) (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) = (cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:22)(cid:27)(cid:22)(cid:22)(cid:6)(cid:7)(cid:1) (cid:13)(cid:22)(cid:12)(cid:26)(cid:10)(cid:14)(cid:22)(cid:27)(cid:22)(cid:22)(cid:13)(cid:6)(cid:26)(cid:10)(cid:14) SSSSSooooollllluuuuutttttiiiiiooooonnnnn ::::: (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) let x5 = t so that 5x4 dx = dt (cid:6)((cid:15)(cid:6) ∫ Now (cid:13)(cid:12)(cid:26)(cid:10)(cid:14) (cid:27)(cid:13)(cid:6)(cid:26)(cid:10)(cid:14) 1 5x4dx ∫ = 5 (a5)2 −(x5)2 (cid:7) (cid:15)$ ∫ = (cid:26) (cid:13)(cid:12)(cid:26)(cid:10)(cid:14) (cid:27)$(cid:14) (cid:7) (cid:12)(cid:26) (cid:6)(cid:26) + (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) = (by standard formula b) (cid:7)(cid:1)(cid:12)(cid:26) (cid:12)(cid:26) (cid:27)(cid:22)(cid:6)(cid:26) (cid:14) (cid:6)((cid:15)(cid:6) ∫ Therefore, (cid:12)(cid:7)(cid:1) (cid:27)(cid:6)(cid:7)(cid:1) −(cid:14) (cid:14) (cid:6)((cid:15)(cid:6) (cid:14)∫ = (cid:12)(cid:7)(cid:1) (cid:27) (cid:6)(cid:7)(cid:1) ( by prop. VI) (cid:1) (cid:14) (cid:7)(cid:22)  (cid:12)(cid:26) + (cid:6)(cid:26)  (cid:14)(cid:22)(cid:6)(cid:22)(cid:22) (cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:22) = (cid:7)(cid:1)(cid:12)(cid:26)  (cid:12)(cid:26) (cid:28)(cid:22)(cid:6)(cid:26)   (cid:1) (cid:7)(cid:22) (cid:12)(cid:26) (cid:24)(cid:14) + (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:22)(cid:22) (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) = Ans. (cid:26)(cid:12)(cid:26) (cid:12)(cid:26) (cid:27)(cid:24)(cid:14) (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:10) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) EEEEEXXXXXEEEEERRRRRCCCCCIIIIISSSSSEEEEE 99999 (((((BBBBB))))) [K = constant] CCCCChhhhhoooooooooossssseeeee ttttthhhhheeeee mmmmmooooosssssttttt aaaaapppppppppprrrrroooooppppprrrrriiiiiaaaaattttteeeee oooooppppptttttiiiiiooooonnnnn (((((aaaaa))))) (((((bbbbb))))) (((((ccccc))))) ooooorrrrr (((((ddddd))))) 1. Evaluate ∫(cid:26)(cid:6) (cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:14)(cid:22) and the answer will be 5x3 (a) 5 / 3x3 + k (b) + k (c) 5x3 (d) none of these 3 2. Integration of 3 – 2x – x4 will become x5 x5 (a) – x2 – x5 / 5 (b) 3x−x2 − +k (c) 3x−x2 + +k (d) none of these 5 5 3. Given f(x) = 4x3 + 3x2 – 2x + 5 and ∫f(x) dx is (a) x4 + x3 – x2 + 5x (b) x4 + x3 – x2 + 5x + k (c) 12x2 + 6x – 2x2 (d) none of these 4. Evaluate result of ∫(cid:13)(cid:22)(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:28)(cid:7)(cid:22)(cid:10)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22) is x3 (a) x5/5 – 2/3 x3 + x + k (b) −x+k 3 (c) 2x (d) none of these 5. ∫( 1 –3x ) ( 1 + x )dx is equal to (a) x – x2 – x3 (b) x3 – x2 + x (c) x – x2 – x3 + k (d) none of these 6. ∫ [ (cid:6) (cid:27)(cid:7)(cid:25) (cid:6) ] dx is equal to (cid:14) (cid:7) (cid:7) (a) 2 x3/2 – 2 x½ +k (b) (cid:24) (cid:6) − (cid:14) (cid:6) + - (c) (cid:14) (cid:6) + (cid:14)(cid:6) (cid:6) + - (d) none of these 3 7. The integral of px3 + qx2 + rk + w/x is equal to (a) px2 + qx + r + k (b) px3/3 + qx2/2 + rx (c) 3px + 2q – w/x2 (d) none of these 8. Use method of substitution to integrate the function f(x) = ( 4x + 5 )6 and the answer is (a) 1/28 ( 4x + 5 )7 + k (b) ( 4x + 5 )7/7 + k (c) ( 4x + 5 )7/7 (d) none of these 9. Use method of substitution to evaluate ∫x(x2 +4)5 dx and the answer is (a) (x2 + 4 )6 + k (b) 1/12 ( x2 + 4 )6 + k (c) ( x2 + 4 )6/ + k (d) none of these 10. Integrate ( x + a )n and the result will be (x+a)n+1 (x+a) n+1 (a) +k (b) n+1 n+1 (c) (x + a)n + 1 (d) none of these (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:27) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 11. ∫%(cid:6)(cid:14)(cid:25)(cid:22)(cid:13)(cid:22)(cid:6)(cid:24)(cid:22) + (cid:22)(cid:14)(cid:22)(cid:10)(cid:24)(cid:22)(cid:15)(cid:6) is equal to 4 − + k (a) – 4/3(x3 + 2)2 (b) 3(x3 +2)2 4 +k (c) (d) none of these 3(x3 +2)2 12. Using method of partial fraction find the integration of f(x) when f(x) = 1/x2 – a2 and the answer is a (a) log x− +k (b) log (x – a) – log (x + a) x+a 1 a − +k (c) (d) none of these 2alog x+a 13. Use integration by parts to evaluate ∫x2e3xdxand the answer is (a) x2 e3x/3 – 2x e3x/9 + 2/27 e3x + k (b) x2 e3x – 2x e3x + 2e3x + k (c) e3x/3 – x e3x/9 + 2e3x + k (d) none of these 14. ∫ logx dx is equal to (a) x logx (b) x logx – x2 + k (c) x logx + k (d) none of these 15. ∫ xex dx is (a) (x – 1)ex + k (b) (x – 1) ex (c) x ex + k (d) none of these 16. ∫(logx)2 dx and the result is (a) x (logx)2 – 2 x logx + 2x (b) x ( logx )2 – 2x (c) 2x logx – 2x (d) none of these 17. Using method of partial fraction to evaluate ∫ (x + 5) dx/(x + 1) (x + 2)2 and the final answer becomes (a) 4 log (x + 1) – 4 log (x + 2) + 3/x + 2 + k (b) 4 log (x + 2) – 3/x + 2) + k (c) 4 log (x + 1) – 4 log (x + 2) (d) none of these 1 ∫( 2x2- x3) 18. Evaluate dx and the value is 0 (a) 4/3 + k (b) 5/12 (c) – 4/3 (d) none of these (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:26) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) ( ∫(cid:13)(cid:22)(cid:24)(cid:6)(cid:22)(cid:28)(cid:22)(cid:14)(cid:22)(cid:10)(cid:14)(cid:22) 19. Evaluate dx and the value is (cid:14) (a) 104 (b) 100 (c) 10 (d) none of these. (cid:7) ∫(cid:6)(cid:21)(cid:6)(cid:15)(cid:6) 20. Evaluate dx and the value is (cid:1) (a) –1 (b) 10 (c) 10/9 (d) +1 21. ∫xx (1 + logx) dx is equal to x2 (a) xx logx + k (b) ex2 + k (c) + k (d) xx + c 2 22. If f(x) = 1 + x2 then ∫f(x)dx is 2 x 1 (a) x (1 + x2) 3/2 + k (b) 1+x2+ log(x+ x2+1) 3 2 2 2 (c) x (1 + x2) 3/2 + k (d) none of these 3 23. ∫(cid:15)(cid:22)(cid:13)(cid:22)(cid:6)(cid:14)(cid:22) + (cid:22)(cid:7)(cid:22)(cid:10)(cid:22)(cid:25)(cid:22) (cid:6)(cid:14)(cid:22) + (cid:22)(cid:14) is equal to (a) 2 x2 + 2 + k (b) x2 + 2 + k (c) 1/(x2 + 2) 3/2 + k (d) none of these 24. ∫(cid:13)(cid:21)(cid:6) + (cid:21)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:14)(cid:13)(cid:21)(cid:6) (cid:27)(cid:21)(cid:27)(cid:6)(cid:10) dx is 1 1 (a) (ex −e …x)3+k (b) (ex –e–x)2+k 3 2 (c) ex+k (d) none of these (cid:12) ∫,(cid:22)(cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:22) + (cid:22)(cid:19)(cid:13)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:22))(cid:22)(cid:15)(cid:6) 25. is equal to (cid:1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∫(cid:14)(cid:22)(cid:22)(cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:22)(cid:15)(cid:6) ∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:22)(cid:15)(cid:6) ∫(cid:27)(cid:22)(cid:19)(cid:13)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:22)(cid:15)(cid:6) (a) (b) (c) 0 (d) (cid:1) (cid:27)(cid:12) (cid:27)(cid:12) 26. ∫(cid:6)(cid:21)(cid:6)(cid:25)(cid:13)(cid:22)(cid:6)(cid:22) + (cid:22)(cid:7)(cid:22)(cid:10)(cid:14) dx is equal to (a) ex/(x + 1) + k (b) ex/x + k (c) ex + k (d) none of these 27. ∫(cid:13)(cid:6)((cid:22) + (cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:6)(cid:22)(cid:10) dx is equal to (a) x5/5 + 3 log x (b) 1/5 x5 + 3 log x + k (c) 1/5 x5 + k (d) none of these (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 28. Evaluate the integral ∫(cid:13)(cid:22)(cid:7)(cid:22)(cid:22)(cid:6)(cid:22)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:6) dx and the answer is equal to (a) log x – 3x + 3/2x2 + k (b) logx – 2 + 3x2 + k (c) logx + 3x2 + k (d) none of these 29. The equation of the curve in the form y = f(x) if the curve passes through the point (1, 0) and f’(x) = 2x – 1 is (a) y = x2 – x (b) x = y2 – y (c) y = x2 (d) none of these ( ∫(cid:13)(cid:22)(cid:14)(cid:6)(cid:22) + (cid:22)(cid:26)(cid:22)(cid:10) 30. Evaluate dx and the value is (cid:7) (a) 3 (b) 10 (c) 30 (d) none of these (cid:14) (cid:14)(cid:6) ∫ (cid:15)(cid:6) 31. (cid:7) (cid:6)(cid:14) is equal to + (cid:7) (a) log (5/2) (b) log 5 – log 2 + k e e e (c) log (2/5) (d) none of these e 4 32. ∫ 3x + 4 dx is equal to 0 (a) 9/112 (b) 112/9 (c) 11/9 (d) none of these (cid:14) (cid:6) (cid:14) + 33. ∫ (cid:15)(cid:6) is (cid:6) + (cid:7) (cid:1) (a) 2 + log 2 (b) 2 + log 3 (c) log 3 (d) none of these e e e e2 dx ∫ 34. Evaluate and the value is x(1+logx2) 1 (a) 3/2 (b) 1/3 (c) 26/3 (d) 1/2 (log 5) e 4 (x+1)(x+4) ∫ dx 35. is equal is x 0 1 7 (a) 51 (b) 48/5 (c) 48 (d) 55 5 15 36. The equation of the curve which passes through the point (1, 3) and has the slope 4x – 3 at any point (x, y) is (a) y = 2x3 – 3x + 4 (b) y = 2x2 – 3x + 4 (c) x = 2y2 – 3y + 4 (d) none of these (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:20) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) (cid:24) (cid:24) 37. The value of ∫ (cid:19)(cid:13)(cid:26)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6)(cid:27)∫ (cid:19)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:6) is (cid:14) (cid:14) (a) 1 (b) 0 (c) –1 (d) none of these 38. ∫(cid:13)(cid:22)(cid:6)(cid:22)(cid:22)(cid:7)(cid:22)(cid:10)(cid:22)(cid:21)(cid:6)(cid:25)(cid:6)(cid:14) dx is equal to (a) ex/x + k (b) e–x/x + k (c) – ex/x + k (d) none of these (cid:21)(cid:6)(cid:13)(cid:6)(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:6) (cid:7)(cid:10) + 39. ∫ (cid:15)(cid:6) is equal to (cid:6) (a) ex logx + k (b) ex + k (c) logx + k (d) none of these 40. ∫(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:15)(cid:6) is equal to (a) x (log x – 1) + k (b) 2x (log x – 1) + k (c) 2 (log x – 1) + k (d) none of these (cid:14) ∫(cid:6)(cid:22)(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:6)(cid:22)(cid:15)(cid:6) 41. is equal to (cid:7) (a) 2 log 2 (b) – 3/4 (c) 2 log 2 – ¾ (d) none of these (cid:14) ∫(cid:13)(cid:6)(cid:14) (cid:27)(cid:22)(cid:7)(cid:22)(cid:10)(cid:25)(cid:6)(cid:14)(cid:21)(cid:6)+(cid:7)(cid:25)(cid:6) (cid:15)(cid:6) 42. Integrate ( x2 – 1) /x2e x + 1/x and hence evaluate and the value is (cid:7) (a) e2 (√e- 1 ) (b) e2 [ e − 1 ]+k (c) e2 e (d) none of these (cid:14) ∫(cid:24)(cid:6)(cid:14)(cid:22)(cid:15)(cid:6) 43. is (cid:1) (a) 7 (b) –8 (c) 8 (d) none of these (cid:13)(cid:14)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:21)(cid:6) 44. Evaluate ∫ (cid:13)(cid:7)(cid:27)(cid:6)(cid:10)(cid:14) (cid:15)(cid:6) and the value is ex 1 (a) + k (b) ex + k (c) +k (d) none of these 1-x 1−x 45. Using integration by parts integrate x3 log x and the integral is (a) x4/16 + k (b) x4/16 ( 4 log x – 1 ) + k (c) 4 log x – 1 + k (d) none of these 46. ∫(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:22)(cid:13)(cid:22)(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:6)(cid:22)(cid:10)(cid:25)(cid:6)(cid:22)(cid:15)(cid:6)(cid:22) is (a) log (log x – 1) + k (b) log x – 1 + k (c) [ log (log x – 1) ] log x + k (d) none of these (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:21) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 47. ∫( logx )2 x dx is equal to x2  1 1 (a)  (logx)2 −logx+  +k (b) (log x)2 – log x + + k 2  2 2 x2  1 (c)  (logx)2 +  +k (d) none of these 2  2 ex −e−x  ∫  48. Evaluate  ex +e−x   dx and the value is (a) log ex + e–x (b) loge ex + e–x + k e (c) log ex – e–x + k (d) none of these e 49. Using the method of partial fraction evaluate ∫3x(x2 −x−2)dx and the value is equal to (a) 2 log x – 2 + log x + 1 + k (b) 2 log x – 2 – log x + 1 + k e e e e (c) log x – 2 + log x + 1 + k (d) none of these e e 50. If f′(x) = x – 1, the equation of a curve y = f(x) passing through the point (1, 0) is given by (a) y = x2 – 2x + 1 (b) y = x2/2 – x + 1 (c) y = x2/2 – x + 1/2 (d) none of these (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:22) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) AAAAANNNNNSSSSSWWWWWEEEEERRRRRSSSSS EEEEExxxxxeeeeerrrrrccccciiiiissssseeeee 99999(((((AAAAA))))) 1. a 2. b 3. c 4. d 5. c 6. a 7. d 8. b 9. d 10. b 11. c 12. a 13. d 14. a 15. b 16. c 17. a 18. c 19. a 20. a 21. b 22. a 23. d 24. b 25. c 26. a 27. b 28. c 29. a 30. b 31. c 32. a 33. b 34. a 35. a 36. b 37. b 38. a 39. c 40. a 41. b 42. c 43. a 44. b 45. a 46. b 47. c 48. a 49. c 50. a EEEEExxxxxeeeeerrrrrccccciiiiissssseeeee 99999(((((BBBBB))))) 1. b 2. b 3. b 4. d 5. c 6. a 7. d 8. a 9. b 10. a 11. b 12. c 13. a 14. d 15. a 16. d 17. a 18. b 19. a 20. d 21. d 22. b 23. a 24. a 25. b 26. a 27. b 28. d 29. a 30. c 31. a 32. b 33. b 34. d 35. d 36. b 37. b 38. a 39. a 40. b 41. c 42. a 43. c 44. a 45. b 46. c 47. a 48. b 49. a 50. c (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:23) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India AAAAADDDDDDDDDDIIIIITTTTTIIIIIOOOOONNNNNAAAAALLLLL QQQQQUUUUUEEEEESSSSSTTTTTIIIIIOOOOONNNNN BBBBBAAAAANNNNNKKKKK (((((AAAAA))))) DDDDDiiiiiffffffffffeeeeerrrrreeeeennnnntttttiiiiiaaaaalllll CCCCCaaaaalllllcccccuuuuullllluuuuusssss 1. If y=x3 then dy/dx is (A) x4/4 (B) -x4/4 (C) 3x2 (D) -3x2 2. If y=x2/3 then dy/dxis (A) (2/3)x-1/3 (B) (3/5)x5/3 (C) (-3/5)x5/3 (D) None 3. If y=x-8 then dy/dx is (A) -8x-9 (B) 8x-9 (C) -8x9 (D) 8x9 4. If y=5x2 then dy/dxis (A) 10x (B) 5x (C) 2x (D) None 5. If y = 2x2 +x then dy/dx is (A) 2(x+1) (B) 2(x-1) (C) x + 1 (D) x – 1 6. If y=4x3-7x4 then dy/dx is (A) 2x(-14x2+6x) (B) 2x(14x2-6x) (C) 2x(14x2+6x) (D) None 7. If y=(4/3)x3-(6/7)x7+4x-3 then dy/dx is (A) 4x2-6x6-12x-4 (B) 4x2+6x6-12x-4 (C) 4x2+6x6+12x-4 (D) None 8. If y=9x4-7x3+8x2-8x-1+10x-3 then dy/dx is (A) 36x3-21x2+16x+8x-2-30x-4 (B) 36x3-21x2+16x-8x-2+30x-4 (C) 36x3+21x2+16x+8x-2+30x-4 (D) None 9. If y=[(1-x)/x]2 then dy/dx is (A) 2(x-3+x-2) (B) 2(-x-3+x-2) (C) 2(x-3-x-2) (D) None 10. If y=(3x2+1)(x3+2x) then dy/dx is (A) 15x4+21x2+2 (B) 15x3+21x2+2 (C) 15x3+21x+2 (D) None 11. If y=(3x2+5)(2x3+x+7) then dy/dx is (A)30x4+39x2+42x+5 (B) 30x4+39x3+42x2+5 (C) 30x4+39x3+42x2+5x (D) None 12. If y=2x3/2(x1/2+2)(x1/2-1) then dy/dx is (A) 4x+5x(x-6)1/2x1/2 (B) 4x+5x(x-3)1/2x1/2 (C) 4x+5x(x-2)1/2x1/2 (D) None (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:24) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 13. If y=(x2-1)/(x2+1) then dy/dx is (A) 4x(x2+1)-2 (B) 4x(x2+1)2 (C) 4x(x2-1)-2 (D) None 14. If y=(x+1)(2x-1)/(x-3) then dy/dx is (A) 2(x2-6x-1)/(x-3)2 (B) 2(x2+6x-1)/(x-3)2 (C) 2(x2+6x+1)/(x-3)2 (D) None 15. If y=(x1/2+2)/x1/2 then dy/dx is (A) -x-3/2 (B) x-3/2 (C) x3/2 (D) None 16. If y=(3x2-7)1/2 then dy/dx is (A) 3x(3x2-7)-1/2 (B) 6x(3x2-7)-1/2 (C) 3x(3x2-7)1/2 (D) None 17. If y=(3x3-5x2+8)3 then dy/dx is (A) 3(3x3-5x2+8)2 (9x2-10x) (B) 3(3x3-5x2+8)2 (9x2+10x) (C) 3(3x3-5x2+8)2 (10x2-9x) (D) None 18. If y=(6x5-7x3+9)-1/3 then dy/dx is (A) (-1/3)(6x5-7x3+9)-4/3(30x4-21x2) (B) (1/3)(6x5-7x3+9)-4/3(30x4-21x2) (C) (-1/3)(6x5-7x3+9)4/3(30x4-21x2) (D) None 19. If y=[(x2+a2)1/2+(x2+b2)1/2]-1 then dy/dx is (A) x(a2-b2)-1[(x2+a2)1/2-(x2+b2)1/2] (B)(a2-b2)-1[(x2+a2)1/2-(x2+b2)1/2] (C) x(a2-b2)-1[(x2+a2)1/2+(x2+b2)1/2] (D) (a2-b2)-1[(x2+a2)1/2+(x2+b2)1/2] 20. If y=log5x then dy/dx is (A) x-1 (B) x (C) 5x-1 (D) 5x 21. If y=x-1/2 then dy/dx is (A) (-1/2)x-3/2 (B) (1/2)x-3/2 (C) (1/2)x3/2 (D) None 22. If y=-3x-7/3 then dy/dx is (A) 7x-10/3 (B) -7x-10/3 (C) (-7/3)x-10/3 (D) None (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:25) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 23. If y=7x4+3x3-9x+5 then dy/dx is (A) 28x3+9(x+1)(x-1) (B) 28x3+9(x+1)2 (C) 28x3+9(x-1)2 (D) None 24. If y=x+4x-1-2x-7 then dy/dx is (A) 1-4x-2+14x-8 (B) 1+4x-2-14x-8 (C) 1+4x-2+14x-8 (D) None 25. If y=(x-x-1)2 then dy/dx is (A) 2x-2x-3 (B) 2x+2x-3 (C) 2x+2x3 (D) 2x-2x3 26. If y=(x1/3-x-1/3)3 then dy/dx is (A) 1-x-2+x-2/3-x-4/3 (B) 1+x-2+x-2/3-x-4/3 (C) 1+x-2+x-2/3+x-4/3 (D) None 27. If y=(x+a)(x+b)(x+c) then dy/dx is (A) 3x2+2ax+2bx+2cx+ab+bc+ca (B) 2x2+3ax+3bx+3cx+ab+bc+ca (C) 3x2+2ax+2bx+2cx+2ab+2bc+2ca (D) None 28. If y=(3x2+5x)(7x+4)-1 then dy/dx is (A) (21x2+24x+20)(7x+4)-2 (B) (21x2+20x+24)(7x+4)-2 (C) (21x2+24x+4)(7x+4)-2 (D) None 29. If y=(2x+1)(3x+1)(4x+1)-1 then dy/dx is (A) (24x2+12x+1)(4x+1)-2 (B) (24x2+12x+3)(4x+1)-2 (C) (24x2+12x+5)(4x+1)-2 (D) None 30. If y=(5x4-6x2-7x+8)/(5x-6) then dy/dx is (A) (75x4-120x3-30x2+72x+2)(5x-6)-2 (B) (75x4-120x3+30x2-72x+2)(5x-6)-2 (C) (75x4-120x3-30x2+72x-2)(5x-6)-2 (D) None 31. If y=(ax2+bx+c)1/2 then dy/dx is (A) (1/2)(2ax+b)(ax2+bx+c)-1/2 (B) (-1/2)(2ax+b)(ax2+bx+c)-1/2 (C) (1/2)(ax+2b)(ax2+bx+c)-1/2 (D) None (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:20)(cid:10) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 32. If y=(2x4+3x3-5x+6)-1/3 then dy/dx is (A) (-1/3)(2x4+3x3-5x+6)-4/3(8x3+9x2-5) (B) (1/3)(2x4+3x3-5x+6)-4/3(8x3+9x2-5) (C) (1/3)(2x4+3x3-5x+6)4/3(8x3+9x2-5) (D) None 33. If y=log[(x-1)1/2-(x+1)1/2] then dy/dx is (A) (1/2)(x2-1)-1/2 (B) (-1/2)(x2-1)-1/2 (C) (1/2)(x2-1)1/2 (D) None 34. If y=log x+ x2+a2 then dy/dx is (A) (1/2)(x2+a2)-1/2 (B) (-1/2)(x2+a2)-1/2 (C) (1/2)(x2+a2)1/2 (D) None 35. If x=3at/(1+t3), y=3at2/(1+t3), then dy/dx is (A) (2t-t4)/(1-2t3) (B) (2t-t4)/(1+2t3) (C) (2t+t4)/(1+2t3) (D) None 36. If y=log[e3x(5x-3)1/3(4x+2)-1/3] then dy/dx is (A) 3+(1/3)[5/(5x-3)-4/(4x+2)] (B) 3-(1/3)[5/(5x-3)-4/(4x+2)] (C) 3+(1/3)[5/(5x-3)+4/(4x+2)] (D) None 37. If y=xxx then the value of dy/dx is (A) xxx [xx-1+logx.xx(1+logx)] (B) xxx [xx-1+logx.(1+logx)] (C) xxx [xx-1+logx.xx(1-logx)] (D) xxx [xx-1+logx.(1-logx)] 38. If xy=ex-y then dy/dx is (A) logx/(1-logx)2 (B) logx/(1+logx)2 (C) logx/(1-logx) (D) logx/(1+logx) 39. If y=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)/(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) then the value of dy/dx is (A) (x+a)-1+(x+b)-1+(x+c)-1+(x+d)-1-(x-a)-1-(x-b)-1-(x-c)-1-(x-d)-1 (B) (x+a)-1-(x+b)-1+(x+c)-1-(x+d)-1+(x-a)-1-(x-b)-1+(x-c)-1-(x-d)-1 (C) (x-a)-1+(x-b)-1+(x-c)-1+(x-d)-1-(x+a)-1-(x+b)-1-(x+c)-1-(x+d)-1 (D) None 40. If y=x(x2-4a2)1/2(x2-a2) then dy/dx is (A) (x4-2a2x2+4a4)(x2-a2)-3/2(x2-4a2)-1/2 (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:27) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (B) (x4+2a2x2-4a4)(x2-a2)-3/2(x2-4a2)-1/2 (C) (x4+2a2x2+4a4)(x2-a2)-3/2(x2-4a2)-1/2 (D) None 41. If y=(2-x)(3-x)1/2(1+x)-1/2 then the value of [dy/dx]/y is (A) (x-2)-1+(1/2)(x-3)-1-(1/2)(1+x)-1 (B) (x-2)-1+(x-3)-1-(1+x)-1 (C) (x-2)-1-(1/2)(x-3)-1+(1/2)(1+x)-1 (D) None 42. If y=log[ex{x-2)/(x+3)}3/4 then dy/dx is (A) 1+(3/4)(x-2)-1-(3/4)(x+3)-1 (B) 1-(3/4)(x-2)-1+(3/4)(x+3)-1 (C) 1+(3/4)(x-2)-1+(3/4)(x+3)-1 (D) None 43. If y=e5/x(2x2-1)1/2 then the value of [dy/dx]/y is (A) (2x3-10x2+5)x-2(2x2-1)-1/2 (B) (2x3-5x2+10)x-2(2x2-1)-1/2 (C) (2x3+10x2-5)x-2(2x2-1)-1/2 (D) None 44. If y=x2e5x(3x+1)-1/2(2x-1)-1/3 then the value of [dy/dx]/y is (A) 5+2x-1-(3/2)(3x+1)-1-(2/3)(2x-1)-1 (B) 5+2x-1-(2/3)(3x+1)-1-(3/2)(2x-1)-1 (C) 5+2x-1-(2/3)(3x+1)-1+(3/2)(2x-1)-1 (D) None 45. If y=x1/2(5-2x)2/3(4-3x)-3/4(7-4x)-4/5 then the value of [dy/dx]/y is (A) (1/2)x-1-(4/3)(5-2x)-1+(9/4)(4-3x)-1+(16/5)(7-4x)-1 (B) (1/2)x-1-(3/4)(5-2x)-1+(9/4)(4-3x)-1+(16/5)(7-4x)-1 (C) (1/2)x-1+(4/3)(5-2x)-1+(9/4)(4-3x)-1+(16/5)(7-4x)-1 (D) None 46. If y=xx then the value of [dy/dx]/y is (A) logx+1 (B) logx-1 (C) log(x+1) (D) None 47. If y=(1+x)2x then the value of [dy/dx]/y is (A) 2[x(x+1)-1+log(x+1)] (B) x(x+1)-1+log(x+1) (C) 2[x(x+1)-1-log(x+1)] (D) None (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:26) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 48. If y=x1/x then the value of [dy/dx]/y is (A) x-2(1-logx) (B) x2(1-logx) (C) x-2(1+logx) (D) None 49. If y=(xx)x then dy/dx is (A) xx2+1(1+2logx) (B) xx2+1(1+logx) (C) xx2+1(1-logx) (D) None 50. If y=xlogx then dy/dx is (A) 2xlogx-1.logx (B) xlogx-1.logx (C) 2xlogx+1.logx (D) None 51. If y=xlog(logx) then the value of [dy/dx]/y is given by (A) x-1[1+log(logx)] (B) x-1[1-log(logx)] (C) x[1+log(logx)] (D) x[1-log(logx)] 52. If y=xa+ax+xx+aa a being a constant then dy/dx is (A) axa-1+axloga+xx(logx+1) (B) axa-1+axloga+xx(logx-1) a-1 x x (C) ax +a loga-x (logx+1) (D) None 53. If x(1+y)1/2+y(1+x)1/2=0 then dy/dx is (A) -(1+x2)-1 (B) (1+x2)-1 (C) -(1+x2)-2 (D) (1+x2)-2 54. If x2-y2+3x-5y=0 then dy/dx is (A) (2x+3)(2y+5)-1 (B) (2x+3)(2y-5)-1 (C) (2x-3)(2y-5)-1 (D) None 55. If x3-xy2+3y2+2=0 then dy/dx is (A) (y2-3x2)/[2y(3-x)] (B) (y2-3x2)/[2y(x-3)] (C) (y2-3x2)/[2y(3+x)] (D) None 56. If ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0 then dy/dx is (A) -(ax+hy+g)/(hx+by+f) (B) (ax+hy+g)/(hx+by+f) (C) (ax-hy+g)/(hx-by+f) (D) None 57. If y=xxx......µ then dy/dx is (A) y2/[x(1-ylogx)] (B) y2/(1-ylogx) (C) y 2 /[x(1+ylogx)] (D) y2/(1+ylogx)] (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 58. The slope of the tangent at the point (2 -2) to the curve x2+xy+y2-4=0 is given by (A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) None 59. If x2+y2-2x=0 then dy/dx is (A) (1-x)/y (B) (1+x)/y (C) (x-1)/y (D) None 60. If x2+3xy+y2-4=0 then dy/dx is (A) -(2x+3y)/(3x+2y) (B) (2x+3y)/(3x+2y) (C) -(3x+2y)/(2x+3y) (D) (3x+2y)/(2x+3y) 61. If x3+5x2y+xy-5=0 then dy/dx is (A) -(3x2+10xy+y)/[x(5x+1)] (B) (3x2+10xy+y)/[x(5x+1)] (C) -(3x2+10xy+y)/[x(5x-1)] (D) None 62. If (x+y)m+n-xmyn=0 then dy/dxis (A) y/x (B) -y/x (C) x/y (D) -x/y 63. Find the fourth derivative of log[(3x+4)1/2] (A) -243(3x+4)-4 (B) 243(3x+4)-4 (C) -243(4x+3)-4 (D) None 64. If y=[x+(1+x2)1/2]m then the value of the expression (1+x2)d2y/dx2+xdy/dx-m2y is (A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) None 65. If y=xmenx then d2y/dx2 is (A) m(m-1)xm-2enx+2mnxm-1enx+n2xmenx (B) m(1-m)xm-2enx+2mnxm-1enx+n2xmenx (C) m(m+1)xm-2enx+2mnxm-1enx+n2xmenx (D) None 66. If y=(logx)/x then d2y/dx2 is (A) (2logx-3)/x3 (B) (3logx-2)/x3 (C) (2logx+3)/x3 (D) None 67. If y=aemx+be-mx then d2y/dx2 is (A) m2y (B) my (C) -m2y (D) -my 68. If y=ae2x+bxe2x where a and b are constants the value of the expression d2y/dx2-4dy/dx+4y is __________. (A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) None (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:20) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 69. If y=a[x+(x2-1)1/2]n+b[x-(x2-1)1/2]n the value of the expression (x2-y)d2y/dx2+xdy/dx-n2y is __________. (A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) None 70. If y=(x+1)1/2-(x-1)1/2 the value of the expression (x2-1)d2y/dx2+xdy/dx-y/4 is given by (A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) None 71. If y=log[x+(1+x2)1/2] the value of the expression (x2+1)d2y/dx2+xdy/dx is ___. (A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) None 72. If x=at2 and y=2at then d2y/dx2 is (A) 1/(2at3) (B) -1/(2at3) (C) 2at3 (D) None 73. If x=(1-t)/(1+t) and t=(2t)/(1+t) then d2y/dx2 is (A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) None (((((BBBBB))))) IIIIInnnnnttttteeeeegggggrrrrraaaaalllll CCCCCaaaaalllllcccccuuuuullllluuuuusssss 1. Integrate w.r.t x, 5x2 (A) (5/3)x3 (B) (3/5)x3 (C) 5x (D) 10x 2. Integrate w.r.t x, (3-2x-x4) (A) 3x-x2-x5/5 (B) 3x+x2-x5/5 (C) 3x+x2+x5/5 (D) None 3. Integrate w.r.t x, (4x3+3x2-2x+5) (A) x4+x3-x2+5x (B) x4-x3+x2-5x (C) x4+x3-x2+5 (D) None 4. Integrate w.r.t x, (x2-1)2 (A) x5/5-(2/3)x3+x (B) x5/5+(2/3)x3+x (C) x5/5+(3/2)x3+x (D) None 5. Integrate w.r.t x, (x1/2-x/2+2x-1/2) (A) (2/3)x3/2-(1/4)x2+4x1/2 (B) (3/2)x3/2-(1/4)x2+4x1/2 (C) (2/3)x3/2+(1/4)x2+4x1/2 (D) None 6. Integrate w.r.t x, (1-3x)(1+x) (A) x-x2-x3 (B) x-x2+x3 (C) x+x2+x3 (D) None (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:21) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 7. Integrate w.r.t x, (x4+1)/x2 (A) x3/3-1/x (B) 1/x-x3/3 (C) x3/3+1/x (D) None 8. Integrate w.r.t x, (3x-1+4x2-3x+8) (A) 3logx-(4/3)x3+(3/2)x2-8x (B) 3logx+(4/3)x3-(3/2)x2+8x (C) 3logx+(4/3)x3+(3/2)x2+8x (D) None 9. Integrate w.r.t x, (x-1/x)3 (A) x4/4-(3/2)x2+3logx+x-2/2 (B) x4/4+(3/2)x2+3logx+x-2/2 (C) x4/4-(2/3)x2+3logx+x-2/2 (D) None 10. Integrate w.r.t x, (x2-3x+x1/3+7)x-1/2 (A) (2/5)x5/2-2x3/2+(6/5)x5/6-14x1/2 (B) (5/2)x5/2-2x3/2+(5/6)x5/6+14x1/2 (C) (2/5)x5/2+2x3/2+(6/5)x5/6+14x1/2 (D) None 11. Integrate w.r.t x, (ax2+bx-3+cx-7)x2 (A) (1/4)ax4+blogx-(1/4)cx-4 (B) 4ax4+blogx-4cx-4 (C) (1/4)ax4+blogx+(1/4)cx-4 (D) None 12. Integrate w.r.t x, x6/5 (A) (5/11)x11/5 (B) (11/5)x11/5 (C) (1/5)x1/5 (D) None 13. Integrate w.r.t x, x4/3 (A) (3/7)x7/3 (B) (7/3)x7/3 (C) (1/3)x1/3 (D) None 14. Integrate w.r.t x, x-1/2 (A) 2x1/2 (B) (1/2)x1/2 (C) -(3/2)x-3/2 (D) None 15. Integrate w.r.t x, (x1/2-x-1/2) (A) (2/3)x3/2-2x1/2 (B) (3/2)x3/2-(1/2)x1/2 (C) -(1/2)x-1/2-(3/2)x-3/2 (D) None 16. Integrate w.r.t x, (7x2-3x+8-x-1/2+x-1+x-2) (A) (7/3)x3-(3/2)x2+8x-2x1/2+logx-x-1 (B) (3/7)x3-(2/3)x2+8x-(1/2)x1/2+logx+x-1 (C) (7/3)x3+(3/2)x2+8x+2x1/2+logx+x-1 (D) None (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:22) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 17. Integrate w.r.t x, x-1[ax3+bx2+cx+d] (A) (1/3)ax3+(1/2)bx2+cx+dlogx (B) 3ax3+2bx2+cx+dlogx (C) 2ax+b-dx-2 (D) None 18. Integrate w.r.t x, x-3[4x6+3x5+2x4+x3+x2+1] (A) x4+x3+x2+x+logx-(1/2)x-2 (B) x4+x3+x2+x+logx+(1/2)x-2 (C) x4+x3+x2+x+logx+2x-2 (D) None 19. Integrate w.r.t x, [2x+(1/2)e-x+4x-1-x-1/3] (A) 2x/log2-(1/2)e-x+4logx-(3/2)x2/3 (B) 2x/log2+(1/2)e-x+4logx+(3/2)x2/3 (C) 2x/log2-2e-x+4logx-(2/3)x2/3 (D) None 20. Integrate w.r.t x, (4x+5)6 (A) (1/28)(4x+5)7 (B) (1/7)(4x+5)7 (C) 7(4x+5)7 (D) None 21. Integrate w.r.t x, x(x2+4)5 (A) (1/12)(x2+4)6 (B) (1/6)(x2+4)6 (C) 6(x2+4)6 (D) None 22. Integrate w.r.t x, (x+a)n (A) (x+a)n+1/(n+1) (B) (x+a)n/n (C) (x+a)n-1/(n-1) (D) None 23. Integrate w.r.t x, (x3+2)23x2 (A) (1/3)(x3+2)3 (B) 3(x3+2)3 (C) 3x2(x3+2)3 (D) 9x2(x3+2)3 24. Integrate w.r.t x, (x3+2)1/2x2 (A) (2/9)(x3+2)3/2 (B) (2/3)(x3+2)3/2 (C) (9/2)(x3+2)3/2 (D) None 25. Integrate w.r.t x, (x3+2)-38x2 (A) -(4/3)(x3+2)-2 (B) (4/3)(x3+2)-2 (C) (2/3)(x3+2)-2 (D) None 26. Integrate w.r.t x, (x3+2)-1/4x2 (A) (4/9)(x3+2)3/4 (B) (9/4)(x3+2)3/4 (C) (3/4)(x3+2)3/4 (D) None (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:23) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 27. Integrate w.r.t x, (x2+1)-n3x (A) (3/2)(x2+1)1-n/(1-n) (B) (3/2)(x2+1)n-1/(1-n) (C) (2/3)(x2+1)1-n/(1-n) (D) None 28. Integrate w.r.t x, (x2+1)-3x3 (A) -(1/4)(2x2+1)/(x2+1)2 (B) (1/4)(2x2+1)/(x2+1)2 (C) -(1/4)(2x2+1)/(x2+1) (D) (1/4)(2x2+1)/(x2+1) 29. Integrate w.r.t x, 1/[xlogxlog(logx)] (A) log[log(logx)] (B) log(logx) (C) logx (D) x-1 30. Integrate w.r.t x, 1/[x(logx)2] (A) -1/logx (B) 1/logx (C) logx (D) None 31. Integrate w.r.t x, x(x2+3)-2 (A) -(1/2)(x2+3)-1 (B) (1/2) (x2+3)-1 (C) 2(x2+3)-1 (D) None 32. Integrate w.r.t x, (3x+7)(2x2+3x-2)-1 (A) (3/4)log(2x2+3x-2)+(19/20)log[(2x-1)/{2(x+2)}] (B) (3/4)log(2x2+3x-2)+log[(2x-1)/{2(x+2)}] (C) (3/4)log(2x2+3x-2)+(19/20)log[2(2x-1)(x+2)] (D) None 33. Integrate w.r.t x, 1/(2x2-x-1) (A) (1/3)log[2(x-1)/(2x+1)] (B) -(1/3)log[2(x-1)/(2x+1)] (C) (1/3)log[2(1-x)/(2x+1)] (D) None 34. Integrate w.r.t x, (x+1)(3+2x-x2)-1 (A) -(1/2)log(3+2x-x2)+(1/2)log[(x+1)/(x-3)] (B) (1/2)log(3+2x-x2)+(1/2)log[(x+1)/(x-3)] (C) -(1/2)log(3+2x-x2)+(1/2)log[(x-3)/(x+1)] (D) None 35. Integrate w.r.t x, (5x2+8x+4)-1/2 (A) (1/ 5)log[{ 5x+4/ 5+(5x2+8x+4)1/2}] (B) 5log[{ 5x+4/ 5+(5x2+8x+4)1/2}] (C) (1/ 5)log[{ 5x+4/ 5+(5x2+8x+4)-1/2}] (D) None (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:24) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) 36. Integrate w.r.t x, (x+1)(5x2+8x-4)-1/2 (A) (1/5)(5x2+8x-4)1/2+[1/(5 5)]log[5{x+4/5+(x2+8x/5-4/5)1/2(1/6)}] (B) (1/5)(5x2+8x-4)1/2+[1/(5 5)]log[5{x+4/5+(x2+8x/5-4/5)-1/2(1/6)}] (C) (1/5)(5x2+8x-4)1/2+[1/(5 5)]log[5{x+4/5+(x2+8x/5-4/5)1/2}] (D) None 37. Integrate w.r.t x, (x2-1)(x4-x2+1)-1 (A) [1/(2 3)]log[(x2- 3x+1)/(x2+ 3x+1)] (B) [1/(2 3)]log[(x2+ 3x+1)/(x2- 3x+1)] (C) [3/(2 3)]log[(x2- 3x+1)/(x2+ 3x+1)] (D) None 38. Integrate w.r.t x, x2e3x (A) (1/3) (x2e3x)-(2/9)(xe3x)+(2/27)e3x (B) (1/3)(x2e3x)+(2/9)(xe3x)+(2/27)e3x (C) (1/3) (x2e3x)-(1/9)(xe3x)+(1/27)e3x (D) None 39. Integrate w.r.t x, logx (A) x(logx-1) (B) x(logx+1) (C) logx-1 (D) logx+1 40. Integrate w.r.t x, xnlogx (A) xn+1(n+1)-1[logx-(n+1)-1] (B) xn-1(n-1)-1[logx-(n-1)-1] (C) xn+1(n+1)-1[logx+(n+1)-1] (D) None 41. Integrate w.r.t x, xex(x+1)-2 (A) ex(x+1)-1 (B) ex(x+1)-2 (C) xex(x+1)-1 (D) None 42. Integrate w.r.t x, xex (A) ex(x-1) (B) ex(x+1) (C) xex(x-1) (D) None 43. Integrate w.r.t x, x2ex (A) ex(x2-2x+2) (B) ex(x2+2x+2) (C) ex(x+2)2 (D) None (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:25) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India 44. Integrate w.r.t x, xlogx (A) (1/4)x2log(x2/e) (B) (1/2)x2log(x2/e) (C) (1/4)x2log(x/e) (D) None 45. Integrate w.r.t x, (logx)2 (A) x(logx)2-2xlogx+2x (B) x(logx)2+2xlogx+2x (C) x(logx)2-2logx+2x (D) x(logx)2+2logx+2x 46. Integrate w.r.t x, ex(1+x)(2+x)-2 (A) ex(2+x)-1 (B) -ex(2+x)-1 (C) (1/2)ex(2+x)-1 (D) None 47. Integrate w.r.t x, ex(1+xlogx)x-1 (A) exlogx (B) -exlogx (C) exx-1 (D) None 48. Integrate w.r.t x, x(x-1)-1(2x+1)-1 (A) (1/3)[log(x-1)+(1/2)log(2x+1)] (B) (1/3)[log(x-1)+log(2x+1)] (C) (1/3)[log(x-1)-(1/2)log(2x+1)] (D) None 49. Integrate w.r.t x, (x-x3)-1 (A) (1/2)log[x2/(1-x2)] (B) (1/2)log[x2/(1-x)2] (C) (1/2)log[x2/(1+x)2] (D) None 50. Integrate w.r.t x, x3[(x-a)(x-b)(x-c)]-1 given that 1/A=(a-b)(a-c)/a3, 1/B=(b-a)(b-c)/b3, 1/C=(c-a)(c-b)/c3 (A) x+Alog(x-a)+Blog(x-b)+Clog(x-c) (B) Alog(x-a)+Blog(x-b)+Clog(x-c) (C) 1+Alog(x-a)+Blog(x-b)+Clog(x-c) (D) None 51. Integrate w.r.t x, (25-x2)-1 from lower limit 3 to upper limit 4 of x (A) (3/4)log(1/5) (B) (1/5)log(3/4) (C) (1/5)log(4/3) (D) (3/4)log5 52. Integrate w.r.t x, (2x+3)1/2 from lower limit 3 to upper limit 11 of x (A) 33 (B) 100/3 (C) 98/3 (D) None (cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:19) (cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:10) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:4)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:8)(cid:11)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:13)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:11)(cid:9)(cid:16)(cid:14)(cid:2)(cid:15)(cid:6)(cid:5)(cid:2)(cid:15)(cid:5)(cid:17)(cid:15)(cid:17)(cid:3) AAAAANNNNNSSSSSWWWWWEEEEERRRRRSSSSS (((((AAAAA))))) DDDDDiiiiiffffffffffeeeeerrrrreeeeennnnntttttiiiiiaaaaalllll CCCCCaaaaalllllcccccuuuuullllluuuuusssss 1) C 2) A 3) A 4) A 5) A 6) A 7) A 8) A 9) B 10) A 11) A 12) A 13) A 14) A 15) A 16) A 17) A 18) A 19) A 20) A 21) A 22) A 23) A 24) A 25) A 26) A 27) A 28) A 29) A 30) A 31) A 32) A 33) A 34) A 35) A 36) A 37) A 38) B 39) A 40) A 41) A 42) A 43) A 44) A 45) A 46) A 47) A 48) A 49) A 50) A 51) A 52) A 53) A 54) A 55) A 56) A 57) A 58) B 59) A 60) A 61) A 62) A 63) A 64) A 65) A 66) A 67) A 68) A 69) A 70) A 71) A 72) A 73) A (((((BBBBB))))) IIIIInnnnnttttteeeeegggggrrrrraaaaalllll CCCCCaaaaalllllcccccuuuuullllluuuuusssss 1) A 2) A 3) A 4) A 5) A 6) A 7) A 8) B 9) A 10) A 11) A 12) A 13) A 14) A 15) A 16) A 17) A 18) A 19) A 20) A 21) A 22) A 23) A 24) A 25) A 26) A 27) A 28) A 29) A 30) A 31) A 32) A 33) A 34) A 35) A 36) A 37) A 38) A 39) A 40) A 41) A 42) A 43) A 44) A 45) A 46) A 47) A 48) A 49) A 50) A 51) B 52) C (cid:10)(cid:11)(cid:22)(cid:27) (cid:1)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:8) (cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:16)(cid:17)(cid:1)(cid:17)(cid:6)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:8) (cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:5) Copyright -The Institute of Chartered Accountants of India